Теорема Виета

Квадратное уравнение всегда можно решить через дискриминант — это надежно, но долго. Теорема Виета часто позволяет назвать корни устно, а заодно за пару секунд проверить готовый ответ. Она названа в честь французского математика Франсуа Виета, который жил в XVI веке и одним из первых стал обозначать буквами не только неизвестные, но и коэффициенты уравнений.

Формулировка

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$. Тогда

Чаще всего теорему применяют к приведенному уравнению — такому, где старший коэффициент равен единице: $x^2 + px + q = 0$. Для него формулы совсем простые:

Ключевая идея: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену.

Откуда берутся формулы

Если у квадратного трехчлена есть корни $x_1$ и $x_2$, его можно разложить на множители: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. Раскроем скобки в правой части:

Два многочлена равны при всех $x$, только если равны их коэффициенты. При $x$ получаем $b = -a(x_1 + x_2)$, для свободного члена — $c = a\,x_1 x_2$. Делим оба равенства на $a$ — и формулы Виета готовы.

Подбираем корни устно

Пример 1. Решим $x^2 - 5x + 6 = 0$. Ищем два числа с суммой $5$ и произведением $6$. Подходят $2$ и $3$: $2 + 3 = 5$, $2 \cdot 3 = 6$. Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Пример 2. Решим $x^2 + 2x - 15 = 0$. Сумма корней равна $-2$, произведение равно $-15$. Перебираем пары делителей числа $15$: пара $3$ и $-5$ дает сумму $-2$. Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = -5$.

Перед подбором полезно посмотреть на знак свободного члена:

• если $q > 0$, корни одного знака — оба того же знака, что и число $-p$;
• если $q < 0$, корни разных знаков.

Совет: Начинай подбор с произведения: у свободного члена обычно немного делителей, и перебрать их быстрее, чем гадать по сумме.

Пример 3. Не решая уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$, составим новое, корни которого вдвое больше: $x_1' = 2x_1$ и $x_2' = 2x_2$. Тогда $x_1' + x_2' = 2(x_1 + x_2) = 10$, а $x_1' \cdot x_2' = 4 x_1 x_2 = 24$. Искомое уравнение: $x^2 - 10x + 24 = 0$.

Обратная теорема

Верно и обратное: если числа $m$ и $n$ таковы, что $m + n = -p$ и $m \cdot n = q$, то они — корни уравнения $x^2 + px + q = 0$. Именно обратная теорема дает право «угадывать»: подобрал пару чисел с нужными суммой и произведением — значит, нашел корни, и других у квадратного уравнения быть не может.

Она же помогает составить уравнение по известным корням. Пусть корни равны $-1$ и $4$. Тогда $p = -(-1 + 4) = -3$, $q = -1 \cdot 4 = -4$, и уравнение имеет вид $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Быстрая проверка ответа

Даже если ты решал уравнение через дискриминант, теорема Виета пригодится для самопроверки. Допустим, для уравнения $x^2 - 9x + 20 = 0$ получились корни $4$ и $5$. Складываем: $4 + 5 = 9$ — совпадает с $-p$. Перемножаем: $4 \cdot 5 = 20$ — совпадает с $q$. Оба условия выполнены, значит, в вычислениях все верно. Если хотя бы одно равенство не сошлось, ищи ошибку — скорее всего, она в знаке или в подсчете дискриминанта.

Типичные ошибки

Частая ошибка: Не теряй минус в сумме: $x_1 + x_2 = -p$, а не $p$. В уравнении $x^2 - 7x + 12 = 0$ коэффициент $p = -7$, поэтому сумма корней равна $7$ (корни $3$ и $4$), а вовсе не $-7$.

• Если $a \neq 1$, сначала раздели уравнение на $a$ или пользуйся общими формулами с $\frac{b}{a}$ и $\frac{c}{a}$. Для $2x^2 - 6x + 4 = 0$ сумма корней равна $3$, а не $6$.
• Теорема говорит о корнях, которые существуют. Прежде чем подбирать, убедись, что $D = b^2 - 4ac \geq 0$. У уравнения $x^2 + x + 1 = 0$ дискриминант $D = -3 < 0$: действительных корней нет, хотя «сумму» и «произведение» формально выписать можно.

Заметка: Теорема Виета обобщается на многочлены любой степени. Для многочлена $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0$ с корнями $x_1, x_2, \ldots, x_n$ сумма корней $x_1 + x_2 + ... + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$. А середина между корнями квадратного уравнения $x^* = \frac{x_1 + x_2}{2} = -\frac{b}{2a}$ — это абсцисса вершины параболы.