Дискриминант квадратного уравнения

Квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 0$) решается по одному и тому же плану: посчитать дискриминант, по его знаку понять, сколько будет корней, и найти их по формуле. Этот способ работает всегда, в отличие от подбора по теореме Виета, поэтому его называют общим.

Что такое дискриминант

Дискриминант — число, которое вычисляется по коэффициентам уравнения:

Слово происходит от латинского discriminare — «различать»: дискриминант различает уравнения по количеству корней.

Ключевая идея: Знак дискриминанта полностью определяет, сколько корней у квадратного уравнения: больше нуля — два корня, ноль — один, меньше нуля — ни одного действительного.

Сколько корней

Формула корней

Если $D \geq 0$, корни находят по формуле:

При $D = 0$ оба знака дают одно и то же число $x = -\frac{b}{2a}$.

Пример 1. Решим $2x^2 - 3x - 2 = 0$. Здесь $a = 2$, $b = -3$, $c = -2$.

1. Дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
2. $D > 0$, значит, корня два. $\sqrt{D} = 5$.
3. $x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$, $x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$.

Пример 2. Решим $x^2 + 6x + 9 = 0$: $D = 36 - 36 = 0$, единственный корень $x = -\frac{6}{2} = -3$. Проверка: $(-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$.

Чётный второй коэффициент

Если $b$ — чётное число, $b = 2k$, вычисления короче. Вместо $D$ считают четверть дискриминанта:

Пример 3. $x^2 - 6x + 5 = 0$: $k = -3$, $\frac{D}{4} = 9 - 5 = 4$, $x_{1,2} = 3 \pm 2$, то есть $x_1 = 5$, $x_2 = 1$.

Совет: Нашёл корни — подставь их в уравнение или проверь по теореме Виета: сумма корней должна равняться $-\frac{b}{a}$, произведение — $\frac{c}{a}$. Для примера 3: $5 + 1 = 6$, $5 \cdot 1 = 5$ — всё сходится.

Типичные ошибки

Частая ошибка: Самая частая ошибка — знак свободного члена. В уравнении $x^2 - 3x - 4 = 0$ коэффициент $c = -4$, поэтому $D = 9 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$, а не $9 - 16$.

• В знаменателе формулы стоит $2a$, а не $2$. Для $3x^2 - 5x + 2 = 0$ корни $x = \frac{5 \pm 1}{6}$, то есть $1$ и $\frac{2}{3}$.
• Перед подсчётом приведи уравнение к виду $ax^2 + bx + c = 0$: в $x^2 = 5x - 6$ сначала перенеси всё влево: $x^2 - 5x + 6 = 0$.
• $D < 0$ — это не «ошибка в условии», а ответ: действительных корней нет.

Заметка: Формула корней получается выделением полного квадрата: $ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{D}{4a}$. Отсюда видно, почему при $D < 0$ корней нет: оба слагаемых справа имеют знак числа $a$, и их сумма не обращается в ноль.