Разложение квадратного трёхчлена на множители

Квадратный трёхчлен — это выражение вида $ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$. Разложить его на множители значит записать в виде произведения линейных множителей. Это нужно, чтобы сокращать дроби, решать уравнения и неравенства и упрощать выражения.

Формула разложения

Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, то

Ключевая идея: Чтобы разложить трёхчлен, достаточно найти корни соответствующего квадратного уравнения. Множитель $a$ перед скобками забывать нельзя.

Проверим формулу на примере. Корни трёхчлена $x^2 - 5x + 6$ — числа $2$ и $3$ (по теореме Виета: сумма $5$, произведение $6$). Значит, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. Раскроем скобки: $x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$. Верно.

Алгоритм

1. Запиши уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ и найди его корни — через дискриминант или подбором по теореме Виета.
2. Подставь корни в формулу $a(x - x_1)(x - x_2)$.
3. Если корни дробные, внеси $a$ в скобку, чтобы избавиться от дробей.

Пример 1. Разложим $2x^2 - 3x - 2$. Корни уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$: $D = 9 + 16 = 25$, $x_1 = 2$, $x_2 = -\frac{1}{2}$. Тогда

Пример 2. Разложим $-x^2 + 4x - 3$. Удобно сначала вынести $-1$: $-(x^2 - 4x + 3)$. Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ — это $1$ и $3$. Ответ: $-(x - 1)(x - 3)$.

Особые случаи

• Один корень ($D = 0$). Трёхчлен является полным квадратом: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2$. Например, $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$.
• Корней нет ($D < 0$). На линейные множители с действительными коэффициентами трёхчлен не раскладывается: $x^2 + x + 1$ так и останется трёхчленом.
• Нет свободного члена ($c = 0$). Проще вынести $x$ за скобки: $3x^2 - 12x = 3x(x - 4)$.
• Нет среднего члена ($b = 0$, $c < 0$). Работает разность квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.

Зачем это нужно: сокращение дробей

Сократим дробь $\dfrac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4}$. Числитель: $(x - 2)(x - 3)$. Знаменатель — разность квадратов: $(x - 2)(x + 2)$. Общий множитель $x - 2$ сокращается:

Совет: После сокращения запиши ограничение: значение $x = 2$ обращало в ноль исходный знаменатель, поэтому оно исключается, хотя в сокращённой дроби его уже не видно.

Типичные ошибки

Частая ошибка: Потерянный коэффициент $a$. Трёхчлен $2x^2 - 3x - 2$ нельзя записать как $(x - 2)\left(x + \frac{1}{2}\right)$: если раскрыть эти скобки, получится $x^2 - \frac{3}{2}x - 1$ — другое выражение.

• Знаки в скобках: корень $x_1 = -\frac{1}{2}$ даёт множитель $x + \frac{1}{2}$, а не $x - \frac{1}{2}$.
• Разложение всегда можно проверить обратно: раскрыть скобки и сравнить с исходным трёхчленом.