Открывается в новой вкладке
8 800 707-67-29Связаться с нами
8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Мы всегда на связи

Пишите в любое удобное время:
whatsappvktelegramMAX
Или задайте вопрос через форму:

Мы всегда на связи

Заявка принята!

Мы уже получили заявку и скоро свяжемся. Расскажите немного о ребёнке — так быстрее подберём группу (необязательно).

Спасибо!

Мы свяжемся с вами в ближайшее время.

Школа ЦПМ из 7 в 8 класс 2026 год | Вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 14.06.2026

Бесплатный марафон к топ-школам!

Уже идёт
Видеоразборы, гайды, авторские варианты.
Смотреть!

Задания вступительного экзамена

Печать
youit.school ©

Школа ЦПМ


Вступительные испытания


Переход 7 $\to$ 8 класс


Профильное тестирование


Математика
  1. Мама дала Ане некоторую сумму денег на карманные расходы. Часть этих денег Аня потратила на билет в кино и мороженое. Известно, что стоимость билета в кино составляла $20\%$ разницы между всей суммой и стоимостью мороженого, тогда как стоимость мороженого составляла $5\%$ разницы между всей суммой и стоимостью билета в кино. Какую часть (в процентах) от всей суммы Аня потратила? Ответ округлите до ближайшего целого числа процентов. (Символ процента писать в ответ не нужно.)
  2. Найдите площадь треугольника, ограниченного координатными осями и прямой $y=kx+b$, если эта прямая проходит через точку $(4;14)$ и имеет угловой коэффициент, равный $-7$.
  3. Числа $a$ и $b$ (не обязательно целые) удовлетворяют двум условиям: \[ a+\frac{1}{b}=7, \qquad b+\frac{1}{a}=5. \] Найдите, чему равно значение выражения \[ ab+\frac{1}{ab}. \]
  4. Дано равенство \[ (x-7)(x^2-28x+\ldots)=(x-11)(x^2-24x+\ldots). \] Вместо многоточий стоят некоторые числа, выбранные так, что равенство верно при любом значении $x$. Найдите числа, стоящие вместо многоточий. В ответ запишите число, стоящее вместо многоточия в правой части равенства.
  5. Внутри треугольника $ABC$ нашлась такая точка $P$, что $AP=BP=CP$ и величины углов $APB$, $BPC$ и $CPA$ относятся как $3:4:5$. Чему равен наибольший угол треугольника $ABC$? (В градусах, символ градуса писать в ответ не нужно.)
  6. Найдите наименьшее натуральное число $n$ такое, что $10n$ – точный куб, $21n$ – точный квадрат.
  7. В коробке находится 14 зелёных шариков, 18 синих и 20 красных. Добавив несколько синих шариков, Вася обнаружил, что теперь вероятность выбрать наугад именно синий шарик из коробки составляет ровно $0{,}6$. Сколько синих шариков Вася добавил в коробку?
  8. Два брата-математика купили земельный участок площади 10 соток (см. чертёж). Они хотят разделить его по прямой линии $PQ$ на две части одинаковой площади. Чему в таком случае будет равно расстояние $XQ$ (в метрах)? (Напомним, что сотка – это квадрат со стороной 10 метров. Единицы измерения в ответ писать не нужно.)
  9. На острове живут 2025 человек, каждый из которых рыцарь (всегда говорит правду) или лжец (всегда лжёт). Все жители острова по очереди произнесли утверждение: «Среди сказанных ранее утверждений ложных ровно на 100 больше, чем истинных». Сколько на острове рыцарей?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Школа ЦПМ


Решения


  1. Задача. Мама дала Ане некоторую сумму денег. Стоимость билета составляла $20\%$ разницы между всей суммой и стоимостью мороженого, а стоимость мороженого составляла $5\%$ разницы между всей суммой и стоимостью билета. Найти, какой процент всей суммы Аня потратила, и округлить ответ до целого числа.
    Решение. Обозначим стоимость билета через $a$, стоимость мороженого через $b$, а всю сумму через $S$. Так как $20\%=\frac{1}{5}$, получаем $a=\frac{1}{5}(S-b)$, откуда $S=5a+b$. Аналогично, $5\%=\frac{1}{20}$, поэтому $b=\frac{1}{20}(S-a)$, откуда $S=a+20b$. Следовательно, $5a+b=a+20b$, значит $4a=19b$. Поэтому стоимость билета и мороженого относятся как $19:4$, а вся сумма составляет $5\cdot 19+4=99$ таких частей. Аня потратила $19+4=23$ части из $99$, то есть \[ \frac{23}{99}\cdot 100\%\approx 23{,}23\%. \] После округления получаем $23\%$.
    Ответ. $23$.
  2. Задача. Найти площадь треугольника, ограниченного координатными осями и прямой $y=kx+b$, если прямая проходит через точку $(4;14)$ и имеет угловой коэффициент $-7$.
    Решение. Уравнение прямой имеет вид $y=-7x+b$. Подставим координаты точки $(4;14)$: \[ 14=-7\cdot 4+b, \] откуда $b=42$. Значит, уравнение прямой имеет вид $y=-7x+42$. Она пересекает ось ординат в точке $(0;42)$, а ось абсцисс – в точке $(6;0)$, потому что $-7x+42=0$ при $x=6$. Площадь получившегося прямоугольного треугольника равна \[ 6\cdot 42:2=126. \]
    Ответ. $126$.
  3. Задача. Числа $a$ и $b$ удовлетворяют условиям \[ a+\frac{1}{b}=7,\qquad b+\frac{1}{a}=5. \] Найти значение выражения $ab+\frac{1}{ab}$.
    Решение. Перемножим левые и правые части данных равенств: \[ \left(a+\frac{1}{b}\right)\left(b+\frac{1}{a}\right)=7\cdot 5. \] Раскрывая скобки, получаем \[ ab+1+1+\frac{1}{ab}=35. \] Следовательно, \[ ab+\frac{1}{ab}=35-2=33. \]
    Ответ. $33$.
  4. Задача. В равенстве \[ (x-7)(x^2-28x+\ldots)=(x-11)(x^2-24x+\ldots) \] вместо многоточий стоят числа, при которых равенство верно при любом $x$. Найти число в правой части.
    Решение. Обозначим число в левой части через $p$, а в правой – через $q$. Подставим $x=7$. Левая часть станет равна нулю, поэтому \[ (7-11)(7^2-24\cdot 7+q)=0. \] Так как $7-11\ne 0$, получаем \[ 49-168+q=0, \] откуда $q=119$. Аналогично, подстановка $x=11$ даёт $p=187$. Действительно, \[ x^2-28x+187=(x-11)(x-17), \] \[ x^2-24x+119=(x-7)(x-17), \] поэтому обе части равны $(x-7)(x-11)(x-17)$.
    Ответ. $119$.
  5. Задача. Внутри треугольника $ABC$ находится точка $P$, причём $AP=BP=CP$, а углы $APB$, $BPC$ и $CPA$ относятся как $3:4:5$. Найти наибольший угол треугольника $ABC$.
    Решение. Сумма углов вокруг точки $P$ равна $360^\circ$. Всего в отношении $3:4:5$ содержится $3+4+5=12$ частей, поэтому одна часть равна $360^\circ:12=30^\circ$. Значит, \[ \angle APB=90^\circ,\qquad \angle BPC=120^\circ,\qquad \angle CPA=150^\circ. \] Треугольники $APB$, $BPC$ и $CPA$ равнобедренные. Поэтому углы при их основаниях равны соответственно $45^\circ$, $30^\circ$ и $15^\circ$. Тогда \[ \angle A=45^\circ+15^\circ=60^\circ, \] \[ \angle B=45^\circ+30^\circ=75^\circ, \] \[ \angle C=30^\circ+15^\circ=45^\circ. \] Наибольший угол равен $75^\circ$.
    Ответ. $75$.
  6. Задача. Найти наименьшее натуральное число $n$, для которого $10n$ является точным кубом, а $21n$ – точным квадратом.
    Решение. Разложим числа на простые множители: \[ 10=2\cdot 5,\qquad 21=3\cdot 7. \] В разложении точного куба количество одинаковых простых множителей должно делиться на $3$, а в разложении точного квадрата – на $2$. Для множителя $2$ в числе $n$ наименьшая подходящая степень равна $2$: тогда в $10n$ степень станет равна $3$, а в $21n$ останется чётной. Так же для множителя $5$ нужна степень $2$. Для множителей $3$ и $7$ нужны степени $3$: тогда в $10n$ они будут кратны $3$, а в $21n$ их степени станут равны $4$. Поэтому \[ n=2^2\cdot 3^3\cdot 5^2\cdot 7^3 =4\cdot 27\cdot 25\cdot 343 =926100. \]
    Ответ. $926100$.
  7. Задача. В коробке было $14$ зелёных, $18$ синих и $20$ красных шариков. После добавления нескольких синих шариков вероятность выбрать синий шарик стала равна $0{,}6$. Сколько синих шариков добавили?
    Решение. Сначала в коробке было $14+18+20=52$ шарика. Пусть добавили $x$ синих шариков. Тогда синих шариков стало $18+x$, а всего шариков – $52+x$. Так как $0{,}6=\frac{3}{5}$, получаем \[ \frac{18+x}{52+x}=\frac{3}{5}. \] Перемножим крест-накрест: \[ 5(18+x)=3(52+x), \] \[ 90+5x=156+3x, \] \[ 2x=66, \] \[ x=33. \]
    Ответ. $33$ шарика.
  8. Задача. Земельный участок площадью $10$ соток разделяют прямой $PQ$ на две равные по площади части. Найти расстояние $XQ$.
    Решение. Участок на чертеже состоит из $10$ квадратов площадью по одной сотке, поэтому его площадь равна $1000$ м$^2$, а площадь каждой части должна быть равна $500$ м$^2$. Сторона каждого маленького квадрата равна $10$ м. Обозначим через $R$ нижнюю точку вертикального отрезка, на котором лежат точки $Q$ и $X$. Часть участка под отрезком $PQ$ состоит из квадрата площадью $100$ м$^2$ и треугольника $PRQ$. Значит, площадь треугольника равна \[ 500-100=400\ \text{м}^2. \] При этом $PR=50$ м. Поэтому \[ 50\cdot RQ:2=400, \] откуда $RQ=16$ м. Высота участка от $R$ до $X$ равна $20$ м, следовательно, \[ XQ=20-16=4\ \text{м}. \]
    Ответ. $4$.
  9. Задача. На острове живут $2025$ рыцарей и лжецов. Каждый по очереди сказал: «Среди сказанных ранее утверждений ложных ровно на $100$ больше, чем истинных». Найти число рыцарей.
    Решение. Будем следить за разностью между количеством ложных и истинных утверждений. Перед первым высказыванием эта разность равна $0$, поэтому первое утверждение ложно. Пока разность меньше $100$, каждое следующее утверждение также ложно, и разность увеличивается на $1$. Значит, первые $100$ жителей являются лжецами. Перед высказыванием $101$-го жителя ложных утверждений ровно на $100$ больше, чем истинных, поэтому он говорит правду и является рыцарем. После этого разность становится равной $99$, поэтому следующий житель лжёт, разность снова становится равной $100$, затем снова говорит рыцарь. Таким образом, начиная со $101$-го жителя, рыцари и лжецы чередуются, причём первым идёт рыцарь. От $101$-го до $2025$-го жителя включительно всего \[ 2025-100=1925 \] человек. Среди них рыцарей на одного больше, чем лжецов, поэтому рыцарей \[ (1925+1):2=963. \]
    Ответ. $963$.
Материалы школы Юайти

Записаться на подготовку к поступлению в школу

1. Консультация с менеджером
Менеджер уточняет, в какую школу и в какой класс поступает ребёнок, и подбирает формат подготовки.
2. Тестирование с методистом
Методист определяет уровень, находит пробелы и оценивает готовность к нужному курсу.
3. Индивидуальный учебный план
Вы получаете понятные рекомендации: с чего начать, как двигаться дальше и к какому результату придём.
envelop

Записаться на подготовку к поступлению в школу

Заявка принята!

Мы уже получили заявку и скоро свяжемся. Расскажите немного о ребёнке — так быстрее подберём группу (необязательно).

Спасибо!

Мы свяжемся с вами в ближайшее время.

Связаться с нами

Спасибо!

Мы свяжемся с вами в ближайшее время.