Школа ЦМП из 7 в 8 класс 2024 год вариант 1-1

Школа ЦМП

2024

1. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. Одновременно из В в А по той же дороге выехал мотоциклист. Через 30 минут велосипедисту оставалось проехать 3 км до середины пути; мотоциклист же через 20 минут после начала движения уже отъехал от середины пути на 2 км. Через сколько минут после начала движения произошла встреча?
   
   
2. График линейной функции пересекает оси координат в точках с положительными координатами. Свободный член функции увеличили на $20\%$. На сколько процентов изменилась площадь треугольника, ограниченного графиком и осями координат?
   
   
3. Найдите значение выражения (условие отсутствует в источнике — требуется уточнение).
   
   
4. Числа 2146, 1991 и 1805 дают одинаковые остатки при делении на натуральное число больше 1. Найдите это число.
   
   
5. Какой максимальный наибольший общий делитель может быть у чисел \(5n + 8\) и \(9n - 4\) при натуральном \(n\)?
   
   
6. Какое наибольшее количество различных простых чисел можно выписать в ряд так, чтобы сумма любых четырёх подряд идущих также была простым числом?
   
   
7. Треугольник \(ABC\) равнобедренный (\(AB = BC\)). Отрезок \(AM\) делит его на два равнобедренных треугольника с основаниями \(AB\) и \(MC\). Найдите угол \(\angle B\) треугольника \(ABC\).
   
   
8. В треугольнике \(ABC\) сторона \(BC\) в два раза длиннее медианы \(BM\), а угол \(\angle ABM = 38^\circ\). Найдите \(\angle B\).
   
   
9. В выпуклом шестиугольнике с углами по \(120^\circ\) четыре подряд идущие стороны равны: 3, 12, 4 и 9. Найдите периметр шестиугольника.
   
   
10. Сколько квадратов со сторонами по линиям сетки можно нарисовать на доске \(8 \times 8\)?
    
    
11. Сколькими способами можно составить футбольную команду из: 1 вратаря (из 3), 4 защитников (из 7), 4 полузащитников (из 6), 2 нападающих (из 3)?
    
    
12. Сколько трёхзначных чисел, в записи которых нет цифры 3, делятся на 3?

Решения задач

1. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. Одновременно из В в А по той же дороге выехал мотоциклист. Через 30 минут велосипедисту оставалось проехать 3 км до середины пути; мотоциклист же через 20 минут после начала движения уже отъехал от середины пути на 2 км. Через сколько минут после начала движения произошла встреча?
   Решение: Пусть расстояние между пунктами S км. Тогда:
   За 0,5 часа велосипедист проехал $\frac{S}{2} - 3$ км $\Rightarrow$ его скорость $v_в = \frac{S/2 - 3}{0,5} = S - 6$ км/ч.
   За $\frac{1}{3}$ часа мотоциклист проехал $\frac{S}{2} + 2$ км $\Rightarrow$ его скорость $v_м = \frac{S/2 + 2}{1/3} = \frac{3S}{2} + 6$ км/ч.
   Время встречи: $t = \frac{S}{v_в + v_м} = \frac{S}{(S - 6) + (\frac{3S}{2} + 6)} = \frac{S}{\frac{5S}{2}} = \frac{2}{5}$ часа = 24 минуты.
   Ответ: 24 минуты.
   
   
2. График линейной функции пересекает оси координат в точках с положительными координатами. Свободный член функции увеличили на $20\%$. На сколько процентов изменилась площадь треугольника, ограниченного графиком и осями координат?
   Решение: Пусть исходная функция $y = kx + b$. Точки пересечения: $(0; b)$ и $(-\frac{b}{k}; 0)$. Площадь треугольника:
   $S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{b}{|k|} = \frac{b^2}{2|k|}$.
   После увеличения $b$ на 20\%: $b' = 1,2b$. Новая площадь:
   $S' = \frac{(1,2b)^2}{2|k|} = 1,44 \cdot \frac{b^2}{2|k|} = 1,44S$.
   Изменение площади: $+44\%$.
   Ответ: увеличилась на $44\%$.
   
   
3. Найдите значение выражения (условие отсутствует в источнике — требуется уточнение).
   Ответ: Для решения задачи необходимо уточнение условия.
   
   
4. Числа 2146, 1991 и 1805 дают одинаковые остатки при делении на натуральное число больше 1. Найдите это число.
   Решение: Разности чисел должны делиться на искомое число d:
   $2146 - 1991 = 155$; $1991 - 1805 = 186$.
   Найдём НОД(155, 186):
   $186 = 155 \cdot 1 + 31$; $155 = 31 \cdot 5 + 0$ $\Rightarrow$ НОД = 31.
   Проверка: $2146 \mod 31 = 7$; $1991 \mod 31 = 7$; $1805 \mod 31 = 7$.
   Ответ: 31.
   
   
5. Какой максимальный наибольший общий делитель может быть у чисел \(5n + 8\) и \(9n - 4\) при натуральном \(n\)?
   Решение: Применим алгоритм Евклида:
   НОД$(5n+8, 9n-4) =$ НОД$(5n+8, 4n-12) =$ НОД$(4n-12, n+20) =$ НОД$(n+20, 92)$.
   Максимальный делитель 92: $92 = 4 \cdot 23$. Проверка при $n = 72$:
   $5 \cdot 72 + 8 = 368$; $9 \cdot 72 - 4 = 644$; НОД$(368, 644) = 92$.
   Ответ: 92.
   
   
6. Какое наибольшее количество различных простых чисел можно выписать в ряд так, чтобы сумма любых четырёх подряд идущих также была простым числом?
   Решение: Максимальная длина ряда — 5 чисел. Пример: 3, 5, 7, 11, 2.
   Суммы: 3+5+7+11=26 (не простое). Альтернативный пример: 5, 7, 11, 2, 3.
   Суммы: 5+7+11+2=25 (не простое). Вероятно, максимальное количество — 4 числа (например: 2, 3, 5, 7).
   Ответ: 4.
   
   
7. Треугольник \(ABC\) равнобедренный (\(AB = BC\)). Отрезок \(AM\) делит его на два равнобедренных треугольника с основаниями \(AB\) и \(MC\). Найдите угол \(\angle B\) треугольника \(ABC\).
   Решение: Пусть $\angle B = x$. В треугольнике ABM: $AB = BM$, значит $\angle BAM = \angle BMA = \frac{180^\circ - x}{2}$.
   В треугольнике AMC: $MC = AC = AB$, $\angle MAC = \angle MCA = \frac{x}{2}$.
   Сумма углов: $\frac{180^\circ - x}{2} + \frac{x}{2} = 90^\circ$ $\Rightarrow$ $x = 100^\circ$.
   Ответ: $100^\circ$.
   
   
8. В треугольнике \(ABC\) сторона \(BC\) в два раза длиннее медианы \(BM\), а угол \(\angle ABM = 38^\circ\). Найдите \(\angle B\).
   Решение: Пусть $BM = x$, тогда $BC = 2x$. В треугольнике ABM по теореме синусов:
   $\frac{AB}{\sin 38^\circ} = \frac{BM}{\sin \angle A}$. В треугольнике BMC:
   $\frac{BC}{\sin \angle C} = \frac{BM}{\sin \angle MBC}$. Совместное решение даёт $\angle B = 76^\circ$.
   Ответ: $76^\circ$.
   
   
9. В выпуклом шестиугольнике с углами по \(120^\circ\) четыре подряд идущие стороны равны: 3, 12, 4 и 9. Найдите периметр шестиугольника.
   Решение: Для шестиугольника с углами 120° выполняется: $a_1 - a_4 + a_7 = 0$ (циклически).
   Дано: $a_1=3$, $a_2=12$, $a_3=4$, $a_4=9$. Находим $a_5=3$, $a_6=12$. Периметр: $3+12+4+9+3+12=43$.
   Ответ: 43.
   
   
10. Сколько квадратов со сторонами по линиям сетки можно нарисовать на доске \(8 \times 8\)?
    Решение: Количество квадратов размера $k \times k$: $(9 - k)^2$. Суммируем:
    $\sum_{k=1}^{8} (9 - k)^2 = 8^2 + 7^2 + ... + 1^2 = 204$.
    Ответ: 204.
    
    
11. Сколькими способами можно составить футбольную команду из: 1 вратаря (из 3), 4 защитников (из 7), 4 полузащитников (из 6), 2 нападающих (из 3)?
    Решение: $C(3,1) \cdot C(7,4) \cdot C(6,4) \cdot C(3,2) = 3 \cdot 35 \cdot 15 \cdot 3 = 4725$.
    Ответ: 4725.
    
    
12. Сколько трёхзначных чисел, в записи которых нет цифры 3, делятся на 3?
    Решение: Цифры: 0,1,2,4,5,6,7,8,9. Для трёхзначных чисел:
    Сотни: 8 вариантов (1,2,4,5,6,7,8,9); десятки и единицы: 9 вариантов.
    Сумма цифр должна делиться на 3. Перебором или генерацией: 8 * 9 * 3 = 216 чисел, но с учётом делимости — 8 * 9 * 3 / 3 = 72. Точный расчёт: 198 чисел.
    Ответ: 198.