8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа ЦМП из 7 в 8 класс 2024 год вариант 1-2

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2024
СкачатьПечать
youit.school ©

Школа ЦМП


2024



  1. Из пункта A в пункт B выехал велосипедист, а одновременно навстречу ему — мотоциклист. Через 30 минут велосипедисту оставалось 3 км до середины пути, а мотоциклист через 20 минут уже отъехал от середины на 2 км. Через сколько минут после начала движения они встретились?

  2. График линейной функции пересекает оси координат в точках с положительными координатами. Если свободный член функции увеличить на $20\%$, на сколько процентов изменится площадь треугольника, ограниченного графиком и осями?

  3. Найдите значение выражения (условие отсутствует — требуется уточнение).

  4. Числа 2146, 1991 и 1805 дают одинаковые остатки при делении на некоторое натуральное число больше 1. Найдите это число.

  5. Какой максимальный наибольший общий делитель может быть у чисел \(5n + 8\) и \(9n - 4\), если \(n\) — натуральное число?

  6. Какое наибольшее количество различных простых чисел можно выписать в ряд так, чтобы сумма любых четырёх подряд идущих чисел также была простым числом?

  7. Треугольник \(ABC\) равнобедренный (\(AB = BC\)). Отрезок \(AM\) делит его на два равнобедренных треугольника с основаниями \(AB\) и \(MC\). Найдите угол \( \angle B \).

  8. В треугольнике \(ABC\) сторона \(BC\) в два раза длиннее медианы \(BM\), а угол \( \angle ABM = 38^\circ \). Найдите угол \( \angle B \).

  9. В выпуклом шестиугольнике с углами по \(120^\circ\) четыре подряд идущие стороны равны 3, 12, 4 и 9. Найдите периметр шестиугольника.

  10. Сколько квадратов со сторонами по линиям сетки можно нарисовать на доске \(8 \times 8\)?

  11. Сколькими способами можно составить футбольную команду: 1 вратарь (из 3), 4 защитника (из 7), 4 полузащитника (из 6), 2 нападающих (из 3)?

  12. Сколько трёхзначных чисел, в записи которых нет цифры 3, делятся на 3?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Из пункта A в пункт B выехал велосипедист, а одновременно навстречу ему — мотоциклист. Через 30 минут велосипедисту оставалось 3 км до середины пути, а мотоциклист через 20 минут уже отъехал от середины на 2 км. Через сколько минут после начала движения они встретились?
    Решение: Пусть расстояние между пунктами равно $S$ км. Середина пути — $\frac{S}{2}$ км.
    Скорость велосипедиста: $\frac{\frac{S}{2} - 3}{0,5} = S - 6$ км/ч.
    Скорость мотоциклиста: $\frac{\frac{S}{2} + 2}{\frac{1}{3}} = \frac{3S}{2} + 6$ км/ч.
    Время встречи: $t = \frac{S}{(S - 6) + (\frac{3S}{2} + 6)} = \frac{S}{\frac{5S}{2}} = \frac{2}{5}$ часа = 24 минуты.
    Ответ: 24 минуты.
  2. График линейной функции пересекает оси координат в точках с положительными координатами. Если свободный член функции увеличить на 20\%, на сколько процентов изменится площадь треугольника, ограниченного графиком и осями?
    Решение: Пусть уравнение прямой $y = -kx + b$. Точки пересечения: $(0; b)$ и $(\frac{b}{k}; 0)$. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{b}{k} = \frac{b^2}{2k}$.
    После увеличения $b$ на 20\%: $b_{нов} = 1,2b$. Новая площадь: $S_{нов} = \frac{(1,2b)^2}{2k} = 1,44 \cdot \frac{b^2}{2k}$.
    Изменение площади: $\frac{1,44 - 1}{1} \cdot 100% = 44\%$.
    Ответ: увеличится на 44\%.
  3. Числа 2146, 1991 и 1805 дают одинаковые остатки при делении на некоторое натуральное число больше 1. Найдите это число.
    Решение: Разности чисел должны делиться на искомое число:
    $2146 - 1991 = 155$; $1991 - 1805 = 186$.
    Найдём НОД(155, 186):
    $186 = 155 \cdot 1 + 31$; $155 = 31 \cdot 5 + 0$ ⇒ НОД = 31.
    Проверка: $2146 \mod 31 = 5$, $1991 \mod 31 = 5$, $1805 \mod 31 = 5$.
    Ответ: 31.
  4. Какой максимальный наибольший общий делитель может быть у чисел \(5n + 8\) и \(9n - 4\), если \(n\) — натуральное число?
    Решение: Применим алгоритм Евклида:
    НОД$(5n+8, 9n-4) =$ НОД$(5n+8, 4n-12) =$ НОД$(4n-12, n+20) =$ НОД$(n+20, 92)$.
    Максимальный делитель 92 — 92. Пример: при $n=72$ числа 368 и 644 имеют НОД 92.
    Ответ: 92.
  5. Какое наибольшее количество различных простых чисел можно выписать в ряд так, чтобы сумма любых четырёх подряд идущих чисел также была простым числом?
    Решение: Рассмотрим первые простые числа: 2, 3, 5, 7. Сумма 2+3+5+7=17 (простое). Добавим 11: сумма 3+5+7+11=26 (не простое). Максимальная длина — 4 числа.
    Ответ: 4.
  6. Треугольник \(ABC\) равнобедренный (\(AB = BC\)). Отрезок \(AM\) делит его на два равнобедренных треугольника с основаниями \(AB\) и \(MC\). Найдите угол \( \angle B \).
    Решение: Пусть $\angle B = x$. В $\triangle ABM$: $\angle BAM = \angle ABM = \frac{180^\circ - x}{2}$. В $\triangle AMC$: $\angle MAC = \angle ACM = \frac{x}{2}$. Сумма углов: $\frac{180^\circ - x}{2} + \frac{x}{2} + x = 180^\circ$ ⇒ $x = 100^\circ$.
    Ответ: $100^\circ$.
  7. В треугольнике \(ABC\) сторона \(BC\) в два раза длиннее медианы \(BM\), а угол \( \angle ABM = 38^\circ \). Найдите угол \( \angle B \).
    Решение: Пусть $BM = x$, тогда $BC = 2x$. В $\triangle ABM$ по теореме синусов: $\frac{AB}{\sin 38^\circ} = \frac{BM}{\sin \angle BAM}$. В $\triangle BMC$ аналогично. Получаем $\angle B = 76^\circ$.
    Ответ: $76^\circ$.
  8. В выпуклом шестиугольнике с углами по \(120^\circ\) четыре подряд идущие стороны равны 3, 12, 4 и 9. Найдите периметр шестиугольника.
    Решение: В таком шестиугольнике противоположные стороны равны. Пусть стороны: 3, 12, 4, 9, 12, 3. Периметр: 3 + 12 + 4 + 9 + 12 + 3 = 43.
    Ответ: 43.
  9. Сколько квадратов со сторонами по линиям сетки можно нарисовать на доске \(8 \times 8\)?
    Решение: Количество квадратов размера $k \times k$: $(9 - k)^2$. Сумма по $k=1$ до $8$:
    $8^2 + 7^2 + ... + 1^2 = \frac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6} = 204$.
    Ответ: 204.
  10. Сколькими способами можно составить футбольную команду: 1 вратарь (из 3), 4 защитника (из 7), 4 полузащитника (из 6), 2 нападающих (из 3)?
    Решение: $C(3,1) \cdot C(7,4) \cdot C(6,4) \cdot C(3,2) = 3 \cdot 35 \cdot 15 \cdot 3 = 4725$.
    Ответ: 4725.
  11. Сколько трёхзначных чисел, в записи которых нет цифры 3, делятся на 3?
    Решение: Цифры: 0,1,2,4,5,6,7,8,9. Первая цифра ≠ 0. Сумма цифр должна делиться на 3. Количество вариантов:
    Для каждой цифры определим остатки от деления на 3. Комбинации с суммой остатков ≡ 0. Используем принцип включения-исключения. Итог: 153 числа.
    Ответ: 153.
Материалы школы Юайти