Лицей №1514 из 8 в 9 класс 2021 год вариант 2
СкачатьПечать
youit.school ©
ГИМНАЗИЯ №1514
2021 год
Вариант 2
- Вычислите:
\[
\dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{5} + \dfrac{15}{2}
\]
- Упростите выражение:
\[
\left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{3}{2a} + \dfrac{1}{a} \right) : \left( \dfrac{3a - 2}{a^2 - 1} - \dfrac{1}{a - 1} \right)
\]
- Решите уравнения:
- \[ \frac{0}{x} = \frac{13x^2 + 20}{3x^2 + 45x + 32} \]
- \[ (x - 1)(x + 3)(x - 2)(x + 4) = (x + 1)(x - 3)(x + 2)(x - 4) \]
- Решите систему неравенств:
\[
\begin{cases}
\dfrac{x + 1}{2} - \dfrac{x + 2}{3} < \dfrac{x + 12}{6} \\
0.3x - 19 \leq 1.7x - 5
\end{cases}
\]
- Решите неравенство и укажите наименьшее целое решение:
\[
|3x - 4| \leq 2x - 3
\]
- Задача:
Первая машина перевозит груз на 3 часа быстрее, чем вторая. Если треть груза перевезёт первая, а остальное — вторая, это займёт на \( \dfrac{1}{7} \) ч больше, чем если бы они работали вместе. За сколько часов каждая перевозит весь груз?
- Постройте график функции:
\[
y = \dfrac{x^2 - 2x + 4}{x + 2}
\]
- Про числа \(x\) и \(y\) известно:
\[
-4 < x - \dfrac{1}{2} < -\dfrac{9}{2}, \quad -2 < y < 0{,}4
\]
Какие целочисленные значения может принимать выражение \( \dfrac{5y}{2x} \)?
- Сумма двух положительных чисел равна 5. Какими должны быть эти числа, чтобы произведение одного из них, увеличенного на 3, и второго было наибольшим? Чему равно это произведение?
- Параметрическое уравнение:
\[
2(a - 1)x^2 + (2a - 3)x + a = 0
\]
Найдите все значения параметра \(a\), при которых:
- уравнение имеет два различных действительных корня;
- оба корня положительны.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите:
\[
\dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{2} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{5} + \dfrac{15}{2}
\]
Решение:
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми знаменателями:
\[
\left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{3}\right) + \left(\dfrac{5}{2} + \dfrac{15}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{5} - \dfrac{2}{5}\right) =
\]
\[
= \left(-\dfrac{1}{3}\right) + \dfrac{20}{2} + \left(-\dfrac{1}{5}\right) = -\dfrac{1}{3} + 10 - \dfrac{1}{5} =
\]
\[
= 10 - \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5}\right) = 10 - \dfrac{8}{15} = 9\dfrac{7}{15} = \dfrac{142}{15}
\]
Ответ: $\dfrac{142}{15}$.
- Упростите выражение:
\[
\left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{3}{2a} + \dfrac{1}{a} \right) : \left( \dfrac{3a - 2}{a^2 - 1} - \dfrac{1}{a - 1} \right)
\]
Решение:
Упростим числитель:
\[
\dfrac{1}{a} + \dfrac{3}{2a} + \dfrac{1}{a} = \dfrac{2}{a} + \dfrac{3}{2a} = \dfrac{7}{2a}
\]
Упростим знаменатель:
\[
\dfrac{3a - 2}{(a - 1)(a + 1)} - \dfrac{1}{a - 1} = \dfrac{3a - 2 - (a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \dfrac{2a - 3}{(a - 1)(a + 1)}
\]
Разделим числитель на знаменатель:
\[
\dfrac{7}{2a} : \dfrac{2a - 3}{(a - 1)(a + 1)} = \dfrac{7(a - 1)(a + 1)}{2a(2a - 3)}
\]
Ответ: $\dfrac{7(a^2 - 1)}{2a(2a - 3)}$.
- Решите уравнения:
- [а)]
\[
\frac{0}{x} = \frac{13x^2 + 20}{3x^2 + 45x + 32}
\]
Решение:
Левая часть равна 0 при $x \neq 0$. Приравняем числитель правой части к нулю:
\[
13x^2 + 20 = 0 \Rightarrow x^2 = -\dfrac{20}{13} \Rightarrow \text{нет действительных решений}
\]
Ответ: Нет решений.
- [б)] \[ (x - 1)(x + 3)(x - 2)(x + 4) = (x + 1)(x - 3)(x + 2)(x - 4) \] Решение: Перепишем уравнение: \[ [(x - 1)(x - 2)][(x + 3)(x + 4)] = [(x + 1)(x + 2)][(x - 3)(x - 4)] \] Раскроем скобки: \[ (x^2 - 3x + 2)(x^2 + 7x + 12) = (x^2 + 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) \] Перенесем все в левую часть и упростим: \[ (x^2 - 3x + 2)(x^2 + 7x + 12) - (x^2 + 3x + 2)(x^2 - 7x + 12) = 0 \] После раскрытия и сокращения получим: \[ 20x^3 - 40x = 0 \Rightarrow 20x(x^2 - 2) = 0 \Rightarrow x = 0, \ x = \sqrt{2}, \ x = -\sqrt{2} \] Ответ: $0, \ \sqrt{2}, \ -\sqrt{2}$.
- [а)]
\[
\frac{0}{x} = \frac{13x^2 + 20}{3x^2 + 45x + 32}
\]
Решение:
Левая часть равна 0 при $x \neq 0$. Приравняем числитель правой части к нулю:
\[
13x^2 + 20 = 0 \Rightarrow x^2 = -\dfrac{20}{13} \Rightarrow \text{нет действительных решений}
\]
Ответ: Нет решений.
- Решите систему неравенств:
\[
\begin{cases}
\dfrac{x + 1}{2} - \dfrac{x + 2}{3} < \dfrac{x + 12}{6} \\
0.3x - 19 \leq 1.7x - 5
\end{cases}
\]
Решение:
Первое неравенство:
\[
3(x + 1) - 2(x + 2) < x + 12 \Rightarrow 3x + 3 - 2x - 4 < x + 12 \Rightarrow -1 < 12 \Rightarrow \text{верно для всех } x
\]
Второе неравенство:
\[
0.3x - 19 \leq 1.7x - 5 \Rightarrow -14 \leq 1.4x \Rightarrow x \geq -10
\]
Ответ: $x \in [-10, +\infty)$.
- Решите неравенство и укажите наименьшее целое решение:
\[
|3x - 4| \leq 2x - 3
\]
Решение:
Рассмотрим два случая:
- $3x - 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq \dfrac{4}{3}$: \[ 3x - 4 \leq 2x - 3 \Rightarrow x \leq 1 \quad \text{(противоречит условию)} \]
- $3x - 4 < 0 \Rightarrow x < \dfrac{4}{3}$: \[ -3x + 4 \leq 2x - 3 \Rightarrow 7 \leq 5x \Rightarrow x \geq \dfrac{7}{5} \]
- Задача:
Первая машина перевозит груз на 3 часа быстрее, чем вторая. Если треть груза перевезёт первая, а остальное — вторая, это займёт на $ \dfrac{1}{7} $ ч больше, чем если бы они работали вместе. За сколько часов каждая перевозит весь груз?
Решение: Пусть первая машина перевозит груз за $t$ часов, тогда вторая за $t + 3$ часов. Производительности: $\dfrac{1}{t}$ и $\dfrac{1}{t + 3}$. Совместная работа: \[ \dfrac{1}{\dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{t + 3}} = \dfrac{t(t + 3)}{2t + 3} \] Комбинированная работа: \[ \dfrac{1}{3} \cdot t + \dfrac{2}{3} \cdot (t + 3) = \dfrac{t}{3} + \dfrac{2t + 6}{3} = t + 2 \] Уравнение: \[ t + 2 = \dfrac{t(t + 3)}{2t + 3} + \dfrac{1}{7} \] Решая уравнение, получим $t = 3$ часа для первой машины и $6$ часов для второй. Ответ: 3 ч и 6 ч.
- Постройте график функции:
\[
y = \dfrac{x^2 - 2x + 4}{x + 2}
\]
Решение:
Выделим целую часть:
\[
y = x - 4 + \dfrac{12}{x + 2}
\]
График имеет:
- Вертикальную асимптоту: $x = -2$
- Наклонную асимптоту: $y = x - 4$
- Точки пересечения с осями: $(0; 2)$, $(2; 0)$
- Про числа $x$ и $y$ известно:
\[
-4 < x - \dfrac{1}{2} < -\dfrac{9}{2}, \quad -2 < y < 0{,}4
\]
Решение:
Преобразуем неравенства:
\[
-\dfrac{7}{2} < x < -\dfrac{8}{2} \Rightarrow -3.5 < x < -4 \quad \text{(ошибка в условии, противоречие)}
\]
Вероятно, опечатка в условии. Предположим правильный вид:
\[
-4.5 < x - 0.5 < -2 \Rightarrow -4 < x < -1.5
\]
Тогда выражение $\dfrac{5y}{2x}$:
\[
\dfrac{5(-2)}{2(-1.5)} = \dfrac{10}{3} \approx 3.33; \quad \dfrac{5(0.4)}{2(-4)} = -0.25
\]
Целочисленные значения: $-0.25 < k < 3.33 \Rightarrow k = 0, 1, 2, 3$.
Ответ: 0, 1, 2, 3.
- Сумма двух положительных чисел равна 5. Какими должны быть эти числа, чтобы произведение одного из них, увеличенного на 3, и второго было наибольшим?
Решение: Пусть числа $a$ и $5 - a$. Рассмотрим функцию: \[ f(a) = (a + 3)(5 - a) = -a^2 + 2a + 15 \] Вершина параболы при $a = 1$. Максимальное значение $f(1) = 16$. Ответ: 1 и 4; максимальное произведение 16.
- Параметрическое уравнение:
\[
2(a - 1)x^2 + (2a - 3)x + a = 0
\]
- [а)] Два различных действительных корня:
\[
D = (2a - 3)^2 - 8(a - 1)a = 4a^2 - 12a + 9 - 8a^2 + 8a = -4a^2 - 4a + 9 > 0
\]
Решаем неравенство:
\[
-4a^2 - 4a + 9 > 0 \Rightarrow a \in \left(-\dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2}\right)
\]
Учитывая $a \neq 1$.
Ответ: $a \in \left(-\dfrac{3}{2}, 1\right) \cup \left(1, \dfrac{3}{2}\right)$.
- [б)] Оба корня положительны: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = \dfrac{3 - 2a}{2(a - 1)} > 0 \\ x_1x_2 = \dfrac{a}{2(a - 1)} > 0 \end{cases} \] Решая систему, получим $a \in (0, 1)$.
- [а)] Два различных действительных корня:
\[
D = (2a - 3)^2 - 8(a - 1)a = 4a^2 - 12a + 9 - 8a^2 + 8a = -4a^2 - 4a + 9 > 0
\]
Решаем неравенство:
\[
-4a^2 - 4a + 9 > 0 \Rightarrow a \in \left(-\dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2}\right)
\]
Учитывая $a \neq 1$.
Ответ: $a \in \left(-\dfrac{3}{2}, 1\right) \cup \left(1, \dfrac{3}{2}\right)$.
Материалы школы Юайти