8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №1514 из 5 в 6 класс 2013 год

Сложность:
Дата экзамена: 2013
СкачатьПечать
youit.school ©

ГИМНАЗИЯ №1514


2012-2013 год


Вариант 2



  1. Расположите выражения в порядке возрастания их значений:
    $+\frac{5}{6} \cdot(-0,2) ;-\frac{1}{4}: \frac{3}{8}$ и $0,6-\frac{11}{15}$.
  2. Вычислите:
    1. $0,03+0,07:\left(1 \frac{7}{24}+\frac{7}{30}-2 \frac{9}{40}\right)$;
    2. $\frac{3,6-4 \frac{1}{3} \cdot 2,5}{2 \frac{1}{15}-1 \frac{5}{6}}$.
  3. Решите уравнения:
    1. $\frac{10-x}{-1 \frac{1}{7}}=\frac{8}{\frac{2}{3}} ;$
    2. $\frac{1}{7}(3 x-1)-0,5(2 x+1)=\frac{1}{14} x-1 ;$
    3. $\left|3 \frac{5}{13}-x\right|:\left(5 \frac{5}{9}-2 \frac{1}{4}\right)=5 \frac{1}{7}$.
    1. Из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей $85 \%$ воды, выпарили 200 кг воды. Каков процент воды в получившейся после выпаривания массе?
    2. Скорость течения реки составляет $\frac{1}{25}$ от собственной скорости лодки. Двигаясь против течения, лодка за 3 часа 15 минут проходит на 52 км меньше, чем за 5 часов двигаясь по течению. Найдите скорость движения лодки по течению.
  5. Сравните числа:
    $\frac{2010}{2011}-1$ и $1-\frac{2011}{2010} .$
    Укажите число, заключенное между ними.
  6. * Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 3 даёт остаток 2, при делении на 4 - остаток 3, при делении на 5-остаток 4.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Ответы:


  1. -2/3; -2/15; 1/6
  2. б) -31
  3. б) -5/19
  4. -
  5. -2/4021
  6. 59
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Расположите выражения в порядке возрастания их значений:
    $+\frac{5}{6} \cdot(-0,2) ;-\frac{1}{4}: \frac{3}{8}$ и $0,6-\frac{11}{15}$.
    Решение:
    Вычислим каждое выражение:
    $+\frac{5}{6} \cdot(-0,2) = \frac{5}{6} \cdot (-\frac{1}{5}) = -\frac{1}{6} \approx -0,1667$
    $-\frac{1}{4} : \frac{3}{8} = -\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{3} = -\frac{2}{3} \approx -0,6667$
    $0,6 - \frac{11}{15} = \frac{3}{5} - \frac{11}{15} = \frac{9}{15} - \frac{11}{15} = -\frac{2}{15} \approx -0,1333$
    Сравнивая значения: $-\frac{2}{3} < -\frac{1}{6} < -\frac{2}{15}$.
    Ответ: $-\frac{1}{4} : \frac{3}{8},\ +\frac{5}{6} \cdot(-0,2),\ 0,6-\frac{11}{15}$.

  2. Вычислите:
    1. $0,03+0,07:\left(1 \frac{7}{24}+\frac{7}{30}-2 \frac{9}{40}\right)$
      Решение:
      Приведём смешанные числа к неправильным дробям:
      $1 \frac{7}{24} = \frac{31}{24},\ 2 \frac{9}{40} = \frac{89}{40}$
      Найдём общий знаменатель для 24, 30, 40 — 120:
      $\frac{31}{24} = \frac{155}{120},\ \frac{7}{30} = \frac{28}{120},\ \frac{89}{40} = \frac{267}{120}$
      Вычислим выражение в скобках:
      $\frac{155}{120} + \frac{28}{120} - \frac{267}{120} = \frac{-84}{120} = -\frac{7}{10} = -0,7$
      Выполним деление:
      $0,07 : (-0,7) = -0,1$
      Итоговый результат:
      $0,03 + (-0,1) = -0,07$
      Ответ: $-0,07$.

    2. $\frac{3,6-4 \frac{1}{3} \cdot 2,5}{2 \frac{1}{15}-1 \frac{5}{6}}$
      Решение:
      Переведём смешанные числа в дроби:
      $4 \frac{1}{3} = \frac{13}{3},\ 2 \frac{1}{15} = \frac{31}{15},\ 1 \frac{5}{6} = \frac{11}{6}$
      Вычислим числитель:
      $3,6 - \frac{13}{3} \cdot 2,5 = \frac{18}{5} - \frac{65}{6} = \frac{108}{30} - \frac{325}{30} = -\frac{217}{30}$
      Вычислим знаменатель:
      $\frac{31}{15} - \frac{11}{6} = \frac{62}{30} - \frac{55}{30} = \frac{7}{30}$
      Разделим числитель на знаменатель:
      $-\frac{217}{30} : \frac{7}{30} = -\frac{217}{7} = -31$
      Ответ: $-31$.


  3. Решите уравнения:
    1. $\frac{10-x}{-1 \frac{1}{7}}=\frac{8}{\frac{2}{3}}$
      Решение:
      Переведём смешанные числа в неправильные дроби
      $-1 \frac{1}{7} = -\frac{8}{7}$
      Упростим правую часть:
      $\frac{8}{\frac{2}{3}} = 8 \cdot \frac{3}{2} = 12$
      Уравнение примет вид:
      $\frac{10 - x}{-\frac{8}{7}} = 12 \quad \Rightarrow \quad 10 - x = 12 \cdot (-\frac{8}{7}) = -\frac{96}{7}$
      Решим относительно $x$:
      $x = 10 + \frac{96}{7} = \frac{166}{7} = 23 \frac{5}{7}$
      Ответ: $23 \frac{5}{7}$.

    2. $\frac{1}{7}(3 x-1)-0,5(2 x+1)=\frac{1}{14} x-1$
      Решение:
      Умножим все части уравнения на 14 для устранения знаменателей:
      $2(3x - 1) - 7(2x + 1) = x - 14$
      Раскроем скобки:
      $6x - 2 - 14x - 7 = x - 14 \quad \Rightarrow \quad -8x - 9 = x - 14$
      Перенесём переменные влево, числа вправо:
      $-9x = -5 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5}{9}$
      Ответ: $\frac{5}{9}$.

    3. $\left|3 \frac{5}{13}-x\right|:\left(5 \frac{5}{9}-2 \frac{1}{4}\right)=5 \frac{1}{7}$
      Решение:
      Переведём смешанные числа в дроби:
      $3 \frac{5}{13} = \frac{44}{13},\ 5 \frac{5}{9} = \frac{50}{9},\ 2 \frac{1}{4} = \frac{9}{4},\ 5 \frac{1}{7} = \frac{36}{7}$
      Вычислим знаменатель:
      $\frac{50}{9} - \frac{9}{4} = \frac{200}{36} - \frac{81}{36} = \frac{119}{36}$
      Уравнение примет вид:
      $\left|\frac{44}{13} - x\right| : \frac{119}{36} = \frac{36}{7} \quad \Rightarrow \quad \left|\frac{44}{13} - x\right| = \frac{36}{7} \cdot \frac{119}{36} = 17$
      Решим два случая:
      $\frac{44}{13} - x = 17 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{44}{13} - 17 = -\frac{177}{13}$
      $x - \frac{44}{13} = 17 \quad \Rightarrow \quad x = 17 + \frac{44}{13} = \frac{265}{13}$
      Ответ: $-\frac{177}{13}$ и $\frac{265}{13}$.


    1. Из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей $85 \%$ воды, выпарили 200 кг воды. Каков процент воды в получившейся после выпаривания массе?
      Решение:
      Исходная масса воды: $500 \cdot 0,85 = 425$ кг
      Сухое вещество: $500 - 425 = 75$ кг
      После выпаривания воды осталось: $425 - 200 = 225$ кг
      Новая общая масса: $225 + 75 = 300$ кг
      Процент воды: $\frac{225}{300} \cdot 100% = 75\%$
      Ответ: $75\%$.

    2. Скорость течения реки составляет $\frac{1}{25}$ от собственной скорости лодки. Двигаясь против течения, лодка за 3 часа 15 минут проходит на 52 км меньше, чем за 5 часов двигаясь по течению. Найдите скорость движения лодки по течению.
      Решение:
      Пусть собственная скорость лодки $v$ км/ч, тогда скорость течения $\frac{v}{25}$.
      Скорость по течению: $v + \frac{v}{25} = \frac{26v}{25}$
      Скорость против течения: $v - \frac{v}{25} = \frac{24v}{25}$
      Расстояние по течению за 5 часов: $5 \cdot \frac{26v}{25} = \frac{130v}{25}$
      Расстояние против течения за 3,25 часа: $3,25 \cdot \frac{24v}{25} = \frac{78v}{25}$
      Разница расстояний: $\frac{130v}{25} - \frac{78v}{25} = \frac{52v}{25} = 52$ км
      Решим уравнение: $\frac{52v}{25} = 52 \quad \Rightarrow \quad v = 25$ км/ч
      Скорость по течению: $\frac{26 \cdot 25}{25} = 26$ км/ч
      Ответ: $26$ км/ч.


  5. Сравните числа: $\frac{2010}{2011}-1$ и $1-\frac{2011}{2010}$. Укажите число, заключенное между ними.
    Решение:
    Преобразуем выражения:
    $\frac{2010}{2011} - 1 = -\frac{1}{2011}$
    $1 - \frac{2011}{2010} = -\frac{1}{2010}$
    Сравнение: $-\frac{1}{2011} > -\frac{1}{2010}$
    Между ними можно указать среднее арифметическое:
    $\frac{-\frac{1}{2011} + (-\frac{1}{2010})}{2} = -\frac{2010 + 2011}{2 \cdot 2010 \cdot 2011} = -\frac{4021}{2 \cdot 2010 \cdot 2011} = -\frac{1}{2010,5}$
    Ответ: $-\frac{1}{2011} > -\frac{1}{2010}$, между ними $-\frac{2}{4021}$.

  6. * Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 3 даёт остаток 2, при делении на 4 — остаток 3, при делении на 5 — остаток 4.
    Решение:
    Заметим, что число $N$ удовлетворяет условиям:
    $N \equiv 2 \pmod{3},\ N \equiv 3 \pmod{4},\ N \equiv 4 \pmod{5}$
    Добавим 1 к каждому условию:
    $N + 1 \equiv 0 \pmod{3},\ N + 1 \equiv 0 \pmod{4},\ N + 1 \equiv 0 \pmod{5}$
    Наименьшее общее кратное 3, 4, 5: $\text{НОК}(3,4,5) = 60$
    Следовательно, $N + 1 = 60 \quad \Rightarrow \quad N = 59$
    Проверка:
    $59 : 3 = 19$ (остаток 2), $59 : 4 = 14$ (остаток 3), $59 : 5 = 11$ (остаток 4)
    Ответ: $59$.
Материалы школы Юайти