Лицей НИУ ВШЭ из 7 в 8 класс 2024 год вариант 1

ЛИЦЕЙ НИУ ВШЭ

2024 год

30.03.2024

1. (3 балла) Найдите пару чисел \( x \) и \( y \), для которых выполняется равенство: \[ \left( \frac{7x + 2}{5} - 2 - \frac{9x - 10}{7} \right)^2 + \left( \frac{4y + 5}{3} - 5 + \frac{13 - 6y}{4} \right)^2 = 0. \]
   
   
2. (3 балла) Петя стоит на платформе в ожидании своей электрички. Сначала мимо Пети проехал скорый поезд со скоростью 120 км/ч, а затем товарный поезд со скоростью 90 км/ч. Петя заметил, что скорый поезд проехал мимо него на 13 с быстрее, чем товарный. Найдите длину товарного поезда, если известно, что он на 250 м длиннее скорого. Ответ дайте в метрах.
   
   
3. (4 балла) В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом \( C \) на гипотенузе \( AB \) отмечены точки \( M \) и \( N \) так, что \( AM = AC \) и \( BN = BC \). Найдите градусные меры углов \( A \) и \( B \), если угол \( A \) меньше угла \( B \), а градусная мера угла \( MCN \) составляет \( \frac{6}{11} \) градусной меры угла \( CMN \).
   
   
4. (5 баллов) Прямая \( l \) задана уравнением \( 2x + 3y - 6 = 0 \). Прямая \( p \) симметрична прямой \( l \) относительно оси \( Oy \), а прямая \( q \) перпендикулярна прямой \( l \) и пересекается с ней в точке с абсциссой \( x = -3 \). Найдите угол между прямыми \( p \) и \( q \).
   
   
5. (5 баллов) Натуральное число \( n \) при делении на 7 даёт в остатке 3. Какой остаток при делении на 7 будет давать число \( n^3 - 2n^2 + 6n \)?

Решения задач

1. Найдите пару чисел \( x \) и \( y \), для которых выполняется равенство: \[ \left( \frac{7x + 2}{5} - 2 - \frac{9x - 10}{7} \right)^2 + \left( \frac{4y + 5}{3} - 5 + \frac{13 - 6y}{4} \right)^2 = 0. \] Решение: Сумма квадратов равна нулю только если каждое слагаемое равно нулю.
   Для первого слагаемого: \[ \frac{7x + 2}{5} - 2 - \frac{9x - 10}{7} = 0 \quad | \cdot 35 \] \[ 7(7x + 2) - 70 - 5(9x - 10) = 0 \] \[ 49x + 14 - 70 - 45x + 50 = 0 \implies 4x - 6 = 0 \implies x = 1,5 \] Для второго слагаемого: \[ \frac{4y + 5}{3} - 5 + \frac{13 - 6y}{4} = 0 \quad | \cdot 12 \] \[ 4(4y + 5) - 60 + 3(13 - 6y) = 0 \] \[ 16y + 20 - 60 + 39 - 18y = 0 \implies -2y - 1 = 0 \implies y = -0,5 \] Ответ: \((1,5; -0,5)\).
   
   
2. Найдите длину товарного поезда, если известно, что он на 250 м длиннее скорого, а скорый проезжает мимо Пети на 13 с быстрее.
   Решение: Переведем скорости в м/с: \[ 120 \text{ км/ч} = \frac{120 \cdot 1000}{3600} = \frac{100}{3} \text{ м/с}, \quad 90 \text{ км/ч} = 25 \text{ м/с} \] Пусть длина скорого поезда \( L \), тогда товарного \( L + 250 \). Время проезда: \[ \frac{L + 250}{25} - \frac{L}{\frac{100}{3}} = 13 \] \[ \frac{L + 250}{25} - \frac{3L}{100} = 13 \quad | \cdot 100 \] \[ 4(L + 250) - 3L = 1300 \implies L + 1000 = 1300 \implies L = 300 \] Длина товарного: \( 300 + 250 = 550 \) м.
   Ответ: 550 м.
   
   
3. Найдите градусные меры углов \( A \) и \( B \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \), если угол \( MCN \) составляет \( \frac{6}{11} \) угла \( CMN \).
   Решение: Пусть \( \angle A = \alpha \), тогда \( \angle B = 90^\circ - \alpha \). Треугольники \( ACM \) и \( BCN \) равнобедренные: \[ \angle ACM = \angle AMC = \frac{180^\circ - \alpha}{2}, \quad \angle BCN = \angle BNC = \frac{90^\circ + \alpha}{2} \] Угол \( MCN \): \[ \angle MCN = 90^\circ - \left( \frac{180^\circ - \alpha}{2} + \frac{90^\circ + \alpha}{2} \right) = 45^\circ - \alpha \] Угол \( CMN \): \[ \angle CMN = 180^\circ - \angle ACM - \angle MCN = 180^\circ - \frac{180^\circ - \alpha}{2} - (45^\circ - \alpha) = 67,5^\circ + \frac{3\alpha}{2} \] По условию: \[ 45^\circ - \alpha = \frac{6}{11} \left( 67,5^\circ + \frac{3\alpha}{2} \right) \] Решая уравнение, получаем \( \alpha = 30^\circ \), \( \angle B = 60^\circ \).
   Ответ: \( \angle A = 30^\circ \), \( \angle B = 60^\circ \).
   
   
4. Найдите угол между прямыми \( p \) и \( q \).
   Решение: Прямая \( p \) симметрична \( l: 2x + 3y - 6 = 0 \) относительно \( Oy \): \[ p: -2x + 3y - 6 = 0 \implies 2x - 3y + 6 = 0 \] Точка пересечения \( l \) и \( q \): подставим \( x = -3 \) в \( l \): \[ 2(-3) + 3y - 6 = 0 \implies y = 4 \quad \text{(точка (-3; 4))} \] Угловой коэффициент \( l \): \( k_l = -\frac{2}{3} \), перпендикулярная прямая \( q \) имеет \( k_q = \frac{3}{2} \).
   Уравнение \( q \): \[ y - 4 = \frac{3}{2}(x + 3) \] Угловой коэффициент \( p \): \( k_p = \frac{2}{3} \). Тангенс угла между \( p \) и \( q \): \[ \tan \theta = \left| \frac{\frac{3}{2} - \frac{2}{3}}{1 + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} \right| = \left| \frac{5/6}{2} \right| = \frac{5}{12} \] Ответ: \( \theta = \arctan \left( \frac{5}{12} \right) \).
   
   
5. Найдите остаток от деления \( n^3 - 2n^2 + 6n \) на 7, если \( n \equiv 3 \mod 7 \).
   Решение: Подставим \( n = 7k + 3 \): \[ n^3 \equiv 3^3 = 27 \equiv 6 \mod 7 \] \[ -2n^2 \equiv -2 \cdot 9 = -18 \equiv -4 \mod 7 \] \[ 6n \equiv 6 \cdot 3 = 18 \equiv 4 \mod 7 \] Суммируем: \[ 6 - 4 + 4 = 6 \mod 7 \] Ответ: 6.