8 800 707-67-29Связаться с нами
8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Мы всегда на связи

Пишите в любое удобное время:
whatsappvktelegram
Или задайте вопрос через форму:

Лицей НИУ ВШЭ из 7 в 8 класс 2025 демо

Сложность:
Дата экзамена: 2025

Бесплатный марафон к топ-школам!

Уже идёт
Видеоразборы, гайды, авторские варианты.
Смотреть!
Печать
youit.school ©
Комплексный тест (вторая часть) 8 класс
Задание по МАТЕМАТИКЕ 2025 ДЕМО
Максимальное количество баллов: 10


  1. (0,5 балла) Найдите значение выражения \[ \frac{2^6 \cdot 3^8}{(6^2)^3}. \]
  2. (1 балл) Решите уравнение \[ \frac{x - 3}{2} - \frac{2x + 1}{3} = \frac{x - 6}{4}. \]
  3. (1 балл) Вычислите: \[ 3 \,\frac{7}{11} \cdot 1{,}375 - 0{,}24 : 0{,}3. \]
  4. (1 балл) Найдите значение выражения \[ (3x + y)(y - 3x) - (x - y)^2 \] при \(x = 0{,}1\), \(y = 5\).
  5. (1 балл) Найдите модуль разности чисел НОК(36; 48) и НОД(36; 48).
  6. (1 балл) Некоторая прямая параллельна прямой \(y = 2x\) и проходит через точку \((0; -3)\). Найдите сумму координат точки пересечения этой прямой с прямой, заданной уравнением \(y = 0{,}5x + 3\).
  7. (1 балл) Если от листа бумаги отрезать кусок, площадь которого составляет 20% всего листа, то площадь оставшейся части будет 108 см\(^2\). Найдите площадь всего листа.
  8. (1 балл) Из города \(A\) в город \(B\), расположенный ниже по течению реки, отправилась лодка. Она прибыла в \(B\) через 3 часа после старта, а после сразу развернулась и отправилась в \(A\), потратив на обратный путь 5 часов. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки 3 км/ч.
  9. (1 балл) В треугольнике \(ABC\) из угла \(C\) проведены высота \(CH\) и биссектриса \(CC_1\). Найдите угол \(HCC_1\), если углы \(A\) и \(B\) равны \(75^\circ\) и \(35^\circ\) соответственно.
  10. (1,5 балла) Оля представила число 161 в виде суммы нескольких натуральных чисел так, что произведение всех слагаемых оказалось равно 161. Укажите количество слагаемых в составленной Олей сумме.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
  1. Задача. Найдите значение выражения \(\dfrac{2^6\cdot 3^8}{(6^2)^3}\).
    Решение. Преобразуем знаменатель: \((6^2)^3=6^{6}=(2\cdot 3)^6=2^6\cdot 3^6\). Тогда \(\dfrac{2^6\cdot 3^8}{(6^2)^3}=\dfrac{2^6\cdot 3^8}{2^6\cdot 3^6}=3^{8-6}=3^2=9\).
    Ответ. \(9\).
  2. Задача. Решите уравнение \(\dfrac{x-3}{2}-\dfrac{2x+1}{3}=\dfrac{x-6}{4}\).
    Решение. Умножим обе части на \(12\): \(6(x-3)-4(2x+1)=3(x-6)\). Получаем \(6x-18-8x-4=3x-18\), то есть \(-2x-22=3x-18\). Тогда \(5x=-4\), значит \(x=-\dfrac{4}{5}=-0{,}8\).
    Ответ. \(-\dfrac{4}{5}\).
  3. Задача. Вычислите \(3\dfrac{7}{11}\cdot 1{,}375-0{,}24:0{,}3\).
    Решение. Представим числа дробями: \(3\dfrac{7}{11}=\dfrac{40}{11}\), \(1{,}375=\dfrac{11}{8}\). Тогда \(\dfrac{40}{11}\cdot\dfrac{11}{8}=\dfrac{40}{8}=5\). Далее \(0{,}24:0{,}3=\dfrac{0{,}24}{0{,}3}=0{,}8\). Значит, всё выражение равно \(5-0{,}8=4{,}2\).
    Ответ. \(4{,}2\).
  4. Задача. Найдите значение выражения \((3x+y)(y-3x)-(x-y)^2\) при \(x=0{,}1\), \(y=5\).
    Решение. \((3x+y)(y-3x)=(y+3x)(y-3x)=y^2-9x^2\). Также \((x-y)^2=x^2-2xy+y^2\). Тогда всё выражение равно \(y^2-9x^2-(x^2-2xy+y^2)=2xy-10x^2=2x(y-5x)\). Подставим \(x=0{,}1\), \(y=5\): \(2x=0{,}2\), \(y-5x=5-0{,}5=4{,}5\), получаем \(0{,}2\cdot 4{,}5=0{,}9\).
    Ответ. \(0{,}9\).
  5. Задача. Найдите \(\left|\text{НОК}(36;48)-\text{НОД}(36;48)\right|\).
    Решение. Разложим на простые множители: \(36=2^2\cdot 3^2\), \(48=2^4\cdot 3\). Тогда \(\text{НОД}(36;48)=2^2\cdot 3=12\), а \(\text{НОК}(36;48)=2^4\cdot 3^2=144\). Разность \(144-12=132\), модуль не меняет знак.
    Ответ. \(132\).
  6. Задача. Прямая параллельна \(y=2x\) и проходит через точку \((0;-3)\). Найдите сумму координат точки пересечения этой прямой с прямой \(y=0{,}5x+3\).
    Решение. Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент, значит искомая прямая имеет вид \(y=2x+b\). Подставим точку \((0;-3)\): \(-3=b\), то есть \(y=2x-3\). Найдём пересечение с \(y=0{,}5x+3\): \(2x-3=0{,}5x+3\), откуда \(1{,}5x=6\), значит \(x=4\). Тогда \(y=2\cdot 4-3=5\), сумма координат \(4+5=9\).
    Ответ. \(9\).
  7. Задача. Если от листа бумаги отрезать \(20\%\) площади, то оставшаяся площадь равна \(108\) см$^2$. Найдите площадь всего листа.
    Решение. После отрезания \(20\%\) остаётся \(80\%\) листа. Пусть площадь всего листа равна \(S\) см$^2$, тогда \(0{,}8S=108\). Отсюда \(S=\dfrac{108}{0{,}8}=135\).
    Ответ. \(135\) см$^2$.
  8. Задача. Лодка прошла из \(A\) в \(B\) по течению за \(3\) часа и вернулась против течения за \(5\) часов. Скорость течения \(3\) км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.
    Решение. Пусть \(v\) км/ч – скорость лодки в стоячей воде. Тогда по течению скорость \(v+3\), против течения \(v-3\). Расстояния равны, значит \(3(v+3)=5(v-3)\). Решаем: \(3v+9=5v-15\), откуда \(24=2v\) и \(v=12\).
    Ответ. \(12\) км/ч.
  9. Задача. В треугольнике \(ABC\) из угла \(C\) проведены высота \(CH\) и биссектриса \(CC_1\). Найдите \(\angle HCC_1\), если \(\angle A=75^\circ\), \(\angle B=35^\circ\).
    Решение. \(\angle C=180^\circ-75^\circ-35^\circ=70^\circ\), значит биссектриса делит его пополам: \(\angle ACC_1=35^\circ\). Так как \(CH\) – высота, то \(CH\perp AB\), и в треугольнике \(AHC\) имеем \(\angle AHC=90^\circ\), \(\angle CAH=\angle A=75^\circ\). Тогда \(\angle ACH=180^\circ-90^\circ-75^\circ=15^\circ\). Следовательно, \(\angle HCC_1=35^\circ-15^\circ=20^\circ\).
    Ответ. \(20^\circ\).
  10. Задача. Число \(161\) представлено в виде суммы нескольких натуральных чисел так, что произведение всех слагаемых равно \(161\). Укажите количество слагаемых.
    Решение. Разложим \(161=7\cdot 23\). Все слагаемые натуральные, а их произведение равно \(161\), значит каждое слагаемое является делителем \(161\); при этом любые слагаемые, равные \(1\), не меняют произведение. Так как слагаемых несколько, то нельзя взять одно число \(161\); значит среди слагаемых обязательно есть \(7\) и \(23\), а остальные равны \(1\). Пусть единиц \(m\), тогда сумма \(7+23+m=161\), откуда \(m=131\). Всего слагаемых \(m+2=133\).
    Ответ. \(133\).
Материалы школы Юайти