Юайти ✕ Школа №57 из 9 в 10 класс 2026 год | Вариант 3

Школа №57

Пробный вариант Юайти 3 (переход 9$\to$10 класс)

Математика

2026 год

1. Докажите, что для любого целого числа $n$ число $n^5-n$ делится на 30.
2. Решите в действительных числах систему: $|x+y|+|x-y|=10$, $xy=6$.
3. Найдите остаток от деления многочлена $x^{20}$ на $x^2-x-1$.
4. Сколько существует перестановок чисел 1, 2, $\ldots$, 10, в которых 1 и 2 не стоят рядом, число 3 стоит левее числа 4, а число 5 стоит между числами 6 и 7?
5. Докажите, что в любой компании из 6 человек найдутся либо 3 попарочно знакомых, либо 3 попарочно незнакомых.
6. В треугольнике $ABC$ известны углы $\angle A = 40^\circ$ и $\angle C = 60^\circ$. На стороне $AC$ отмечена точка $D$ так, что $BD = BC$. Найдите угол $ABD$.