Юайти ✕ Школа ЦПМ из 8 в 9 класс 2026 год | Вариант 5 (профильное тестирование)

ШКОЛА ЦПМ

Пробный профильный вариант Юайти 2 (переход 8$\to$9 класс)

Математика

2026 год

1. Максим потратил на подарок $30\%$ всех денег, а затем ещё $20\%$ от остатка на упаковку и открытку. После этого у него осталось $224$ рубля. Сколько рублей было у Максима сначала?
2. Исследуйте количество точек пересечения графика функции $y=|x^2-4x|$ с прямой $y=m$. Для каких значений $m$ этих точек ровно три?
3. Найдите значение выражения \[\frac{a^3-8}{a^2+2a+4}\] при $a=1+\sqrt5$. Если ответ иррационален, представьте его в виде $p+q\sqrt5$.
4. Известно, что тождество \[(x-2)(x^2+px+q)=(x-5)(x^2+rx+s)\] верно при всех $x$. Найдите $r-p$.
5. Вписанный четырёхугольник $ABCD$ таков, что $\angle BAD=75^\circ$. Диагональ $AC$ делит угол $BCD$ в отношении $2:1$. Найдите меньший из углов $\angle BCA$ и $\angle BCD$.
6. Найдите наименьшее натуральное число $n$, такое что $50n$ – точный квадрат, а $8n$ – точный куб.
7. В урне лежат $9$ белых и $15$ чёрных шаров. Добавили несколько белых шаров так, что вероятность вытащить белый шар стала равна $0{,}5$. Сколько белых шаров добавили?
8. Через точку, делящую диаметр окружности радиуса $10$ на части $6$ и $14$, проведена хорда, перпендикулярная диаметру. Найдите длину этой хорды.
9. На острове рыцарей и лжецов семь жителей произнесли фразу: «Среди выступивших до меня истинных утверждений на $2$ меньше, чем ложных». Сколько среди них могло быть рыцарей?