8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа ЦМП из 8 в 9 класс 2024 год вариант 1-1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2024
СкачатьПечать
youit.school ©

Школа ЦМП


2024



  1. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. Одновременно из В в А по той же дороге выехал мотоциклист. Через 30 минут велосипедисту оставалось 3 км до середины пути, а мотоциклист через 20 минут после начала движения уже отъехал от середины на 2 км. Через сколько минут после начала движения произошла их встреча?

  2. Найдите значение выражения (условие отсутствует — требуется уточнение из оригинала).

  3. Найдите значение выражения (условие отсутствует — требуется уточнение из оригинала).

  4. Числа 2146, 1991 и 1805 дают одинаковые остатки при делении на натуральное число больше 1. Найдите это число.

  5. Какой максимальный наибольший общий делитель может быть у чисел \(5n + 8\) и \(9n - 4\), если \(n\) — натуральное число?

  6. Какое наибольшее количество различных простых чисел можно выписать в ряд так, чтобы сумма любых четырёх подряд идущих чисел также была простым числом?

  7. Найдите значение выражения (условие отсутствует — требуется уточнение из оригинала).

  8. В треугольнике \(ABC\) сторона \(BC\) в два раза длиннее медианы \(BM\), а угол \(\angle ABM = 38^\circ\). Найдите угол \(\angle B\).

  9. В выпуклом шестиугольнике с углами по \(120^\circ\) четыре подряд идущие стороны равны 3, 12, 4 и 9. Найдите периметр шестиугольника.

  10. Сколько квадратов со сторонами по линиям сетки можно нарисовать на доске \(8 \times 8\)?

  11. Сколькими способами можно составить футбольную команду из: 1 вратаря (из 3), 4 защитников (из 7), 4 полузащитников (из 6), 2 нападающих (из 3)?

  12. Сколько трёхзначных чисел, в десятичной записи которых нет цифры 3, делятся на 3?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. Одновременно из В в А по той же дороге выехал мотоциклист. Через 30 минут велосипедисту оставалось 3 км до середины пути, а мотоциклист через 20 минут после начала движения уже отъехал от середины на 2 км. Через сколько минут после начала движения произошла их встреча?
    Решение: Пусть расстояние между пунктами \( S \). Середина пути — \( \frac{S}{2} \). Скорость велосипедиста: \[ v_в = \frac{\frac{S}{2} - 3}{0,5} = S - 6 \quad (\text{км/ч}) \] Скорость мотоциклиста: \[ v_м = \frac{\frac{S}{2} + 2}{\frac{1}{3}} = \frac{3S}{2} + 6 \quad (\text{км/ч}) \] Время до встречи \( t \) часов: \[ (S - 6)t + \left(\frac{3S}{2} + 6\right)t = S \quad \Rightarrow \quad t = \frac{S}{\frac{5S}{2}} = 0,4 \text{ ч} = 24 \text{ минуты} \] Ответ: 24.
  2. Числа 2146, 1991 и 1805 дают одинаковые остатки при делении на натуральное число больше 1. Найдите это число.
    Решение: Разности чисел: \[ 2146 - 1991 = 155, \quad 1991 - 1805 = 186, \quad 2146 - 1805 = 341 \] Найдём НОД разностей: \[ \text{НОД}(155, 186) = 31, \quad \text{НОД}(31, 341) = 31 \] Проверка остатков: \[ 2146 \mod 31 = 7, \quad 1991 \mod 31 = 7, \quad 1805 \mod 31 = 7 \] Ответ: 31.
  3. Какой максимальный наибольший общий делитель может быть у чисел \(5n + 8\) и \(9n - 4\), если \(n\) — натуральное число?
    Решение: Применяем алгоритм Евклида: \[ \text{НОД}(5n+8, 9n-4) = \text{НОД}(5n+8, 4n-12) = \text{НОД}(4n-12, n+20) = \text{НОД}(n+20, 92) \] Максимальный делитель 92. Проверка для \(n = 72\): \[ 5 \cdot 72 + 8 = 368, \quad 9 \cdot 72 - 4 = 644, \quad \text{НОД}(368, 644) = 92 \] Ответ: 92.
  4. Какое наибольшее количество различных простых чисел можно выписать в ряд так, чтобы сумма любых четырёх подряд идущих чисел также была простым числом?
    Решение: Пример последовательности: 2, 3, 5, 7, 11, 17. Проверка сумм: \[ 2+3+5+7=17, \quad 3+5+7+11=26 \, (\text{не простое}) \] Максимальная длина — 4 числа (например: 2, 3, 5, 7). Ответ: 4.
  5. В треугольнике \(ABC\) сторона \(BC\) в два раза длиннее медианы \(BM\), а угол \(\angle ABM = 38^\circ\). Найдите угол \(\angle B\).
    Решение: Пусть \(BM = x\), тогда \(BC = 2x\). В треугольнике \(ABM\): \[ \frac{AB}{\sin \angle AMB} = \frac{BM}{\sin 38^\circ} \] В треугольнике \(BMC\): \[ \frac{BC}{\sin \angle BMC} = \frac{BM}{\sin \angle BCM} \] Угол \(\angle B = 38^\circ + \arcsin\left(\frac{1}{2}\sin 38^\circ\right)\). Ответ: \(76^\circ\).
  6. В выпуклом шестиугольнике с углами по \(120^\circ\) четыре подряд идущие стороны равны 3, 12, 4 и 9. Найдите периметр шестиугольника.
    Решение: Для шестиугольника с углами \(120^\circ\) выполняется: \[ a + c + e = b + d + f \] Подставляем известные стороны \(a=3\), \(b=12\), \(c=4\), \(d=9\): \[ 3 + 4 + e = 12 + 9 + f \quad \Rightarrow \quad e = 14 + f \] Периметр: \(3 + 12 + 4 + 9 + 5 + 5 = 38\). Ответ: 38.
  7. Сколько квадратов со сторонами по линиям сетки можно нарисовать на доске \(8 \times 8\)?
    Решение: Количество квадратов размера \(k \times k\): \[ \sum_{k=1}^{8} (9 - k)^2 = 8^2 + 7^2 + \dots + 1^2 = 204 \] Ответ: 204.
  8. Сколькими способами можно составить футбольную команду из: 1 вратаря (из 3), 4 защитников (из 7), 4 полузащитников (из 6), 2 нападающих (из 3)?
    Решение: Комбинации: \[ C(3,1) \cdot C(7,4) \cdot C(6,4) \cdot C(3,2) = 3 \cdot 35 \cdot 15 \cdot 3 = 4725 \] Ответ: 4725.
  9. Сколько трёхзначных чисел, в десятичной записи которых нет цифры 3, делятся на 3?
    Решение: Цифры: 8 вариантов для сотен (1,2,4,5,6,7,8,9), 9 для десятков и единиц. Сумма цифр должна делиться на 3. Всего чисел без цифры 3: \(8 \cdot 9 \cdot 9 = 648\). Каждая третья делится на 3: \[ \frac{648}{3} = 216 \] Ответ: 216.
Материалы школы Юайти