Мы всегда на связи
Пишите в любое удобное время:
Или задайте вопрос через форму:
Мы всегда на связи
Заявка принята!
Мы уже получили заявку и скоро свяжемся. Расскажите немного о ребёнке — так быстрее подберём группу (необязательно).
Спасибо!
Мы свяжемся с вами в ближайшее время.
Школа № 2007 ФМШ из 5 в 6 класс 17 мая 2024 год вариант 1
Задания вступительного экзамена
Печать
youit.school ©
- Найдите значение выражения. Все промежуточные вычисления должны быть записаны.
- $\left(\cfrac{32}{75}+\cfrac{11}{21}\right)-\cfrac{7}{75}$
- $\cfrac{17\cdot 45-21\cdot 17}{34\cdot 19+29\cdot 34}$
- Вычислите, записав все промежуточные вычисления: \[ 22\mathbin{:}\left(7\frac{1}{3}-6\frac{7}{8}\right) - \left(\frac{3}{5}-\frac{7}{15}\right)\cdot \left(1\frac{1}{4}\right)^2. \]
- У прямоугольника №1 стороны равны \(15\) см и \(19\) см. У прямоугольника №2 одна его сторона на \(8\) см больше другой его стороны. Известно, что периметры этих двух прямоугольников равны. Найдите площадь прямоугольника №2. Каждый шаг решения должен быть пояснен.
- Решите уравнение: \[ \frac{1}{3}x+2\frac{3}{4}+\frac{5}{6}x=3. \]
- Из \(A\) в \(B\) выехал гоночный автомобиль со скоростью \(132\) км/ч. Спустя два часа из \(B\) в \(A\) выехал грузовик. Гоночный автомобиль доехал до \(B\) и повернул обратно. Автомобиль догнал грузовик, при этом к этому моменту грузовик проехал ровно треть пути от \(B\) к \(A\), и это заняло у него \(6\) часов. Какова скорость грузовика? Каждый шаг решения должен быть пояснен.
- В двух корзинах \(77\) яблок. В первую корзину Ася добавила \(16\) яблок, а из второй корзины убрала \(21\) яблоко. Оказалось, что во второй корзине стало в \(3\) раза меньше яблок, чем в первой. Сколько яблок было в каждой корзине первоначально? Каждый шаг решения должен быть пояснен.
- Было записано число. Его увеличили на четное число, в котором число десятков в три раза больше числа единиц. Затем разделили на наибольшее однозначное число. После этого прибавили число, стоящее в натуральном ряду сразу после \(12\). Затем увеличили во столько раз, сколько есть нечетных чисел в промежутке от \(22\) до \(36\). В итоге получилось число \(147\). Какое число было записано изначально? Каждый шаг решения должен быть пояснен.
- У Коли был брусок пластилина в форме кирпичика длиной \(45\) см, шириной \(24\) см и высотой \(8\) см. Вася отрезал от него кусок так, что длина исходного бруска стала меньше в три раза, остальные его размеры не изменились. Из отрезанного куска он слепил новый кирпичик длиной \(20\) см, высотой \(16\) см. А какова оказалась ширина нового кирпичика? Каждый шаг решения должен быть пояснен.
- Миша начертил треугольник \(ABC\). Сторона \(AB\) равна \(168\) мм и составляет \(\frac{3}{8}\) от периметра. Сторона \(BC\) равна \(\frac{2}{7}\) от периметра. Найдите сторону \(AC\). Каждый шаг решения должен быть пояснен.
- На плацу командир строит подразделение солдат. Сначала он построил их в колонну из \(12\) одинаковых рядов, затем в колонну из \(20\) одинаковых рядов и, наконец, в колонну из \(8\) одинаковых рядов. Какое наименьшее количество солдат было на плацу? Каждый шаг решения должен быть пояснен.
- Есть три крана, каждый из которых может заполнить пустую ванну до краёв соответственно за \(8\) мин, \(10\) мин и \(15\) мин. На дне ванны есть дырка, через которую полная до краёв ванна целиком опорожняется за \(24\) мин. Ванна изначально пуста, все три крана одновременно открыли, дырку не заткнули. Через какое время ванна наполнится до краёв? Каждый шаг решения должен быть пояснен.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
- Задача. Найдите значения выражений: а) \(\left(\frac{32}{75}+\frac{11}{21}\right)-\frac{7}{75}\); б) \(\frac{17\cdot 45-21\cdot 17}{34\cdot 19+29\cdot 34}\). Запишите все промежуточные вычисления.
Решение. а) Общий знаменатель дробей \(\frac{32}{75}\) и \(\frac{11}{21}\) равен \(525\). Приведём дроби к этому знаменателю: \[ \frac{32}{75}=\frac{224}{525} \] \[ \frac{11}{21}=\frac{275}{525} \] Сложим дроби в скобках: \[ \frac{224}{525}+\frac{275}{525}=\frac{499}{525} \] Приведём дробь \(\frac{7}{75}\) к знаменателю \(525\): \[ \frac{7}{75}=\frac{49}{525} \] Вычтем: \[ \frac{499}{525}-\frac{49}{525}=\frac{450}{525} \] Сократим дробь: \[ \frac{450}{525}=\frac{6}{7} \]
б) Сначала найдём значение числителя: \[ 17\cdot 45=765 \] \[ 21\cdot 17=357 \] \[ 765-357=408 \] Теперь найдём значение знаменателя: \[ 34\cdot 19=646 \] \[ 29\cdot 34=986 \] \[ 646+986=1632 \] Получаем дробь: \[ \frac{408}{1632}=\frac{1}{4} \]
Ответ. а) \(\frac{6}{7}\); б) \(\frac{1}{4}\). - Задача. Вычислите:
\[
22:\left(7\frac{1}{3}-6\frac{7}{8}\right)
-
\left(\frac{3}{5}-\frac{7}{15}\right)\cdot
\left(1\frac{1}{4}\right)^2.
\]
Решение. Сначала переведём смешанные числа в неправильные дроби: \[ 7\frac{1}{3}=\frac{22}{3} \] \[ 6\frac{7}{8}=\frac{55}{8} \] \[ 1\frac{1}{4}=\frac{5}{4} \] Найдём разность в первых скобках: \[ \frac{22}{3}-\frac{55}{8}=\frac{176}{24}-\frac{165}{24} \] \[ \frac{176}{24}-\frac{165}{24}=\frac{11}{24} \] Теперь выполним деление: \[ 22:\frac{11}{24}=22\cdot\frac{24}{11} \] \[ 22\cdot\frac{24}{11}=48 \]
Найдём разность во вторых скобках: \[ \frac{3}{5}-\frac{7}{15}=\frac{9}{15}-\frac{7}{15} \] \[ \frac{9}{15}-\frac{7}{15}=\frac{2}{15} \] Возведём смешанное число в квадрат: \[ \left(\frac{5}{4}\right)^2=\frac{25}{16} \] Найдём произведение: \[ \frac{2}{15}\cdot\frac{25}{16}=\frac{50}{240} \] \[ \frac{50}{240}=\frac{5}{24} \] Теперь вычислим всё выражение: \[ 48-\frac{5}{24}=\frac{1152}{24}-\frac{5}{24} \] \[ \frac{1152}{24}-\frac{5}{24}=\frac{1147}{24} \] \[ \frac{1147}{24}=47\frac{19}{24} \]
Ответ. \(47\frac{19}{24}\). - Задача. У прямоугольника №1 стороны равны \(15\) см и \(19\) см. У прямоугольника №2 одна сторона на \(8\) см больше другой. Периметры прямоугольников равны. Найдите площадь прямоугольника №2.
Решение. Сначала найдём периметр первого прямоугольника: \[ 15+19=34 \] \[ 34\cdot 2=68 \] см.
Периметр второго прямоугольника тоже равен \(68\) см. Значит, сумма двух его соседних сторон равна половине периметра: \[ 68:2=34 \] см.
Сумма сторон равна \(34\) см, а одна сторона больше другой на \(8\) см. Найдём меньшую сторону: \[ 34-8=26 \] \[ 26:2=13 \] см.
Найдём большую сторону: \[ 13+8=21 \] см.
Теперь найдём площадь второго прямоугольника: \[ 13\cdot 21=273 \] кв. см.
Ответ. \(273\) кв. см. - Задача. Решите уравнение:
\[
\frac{1}{3}x+2\frac{3}{4}+\frac{5}{6}x=3.
\]
Решение. Переведём смешанное число в неправильную дробь: \[ 2\frac{3}{4}=\frac{11}{4} \] Сложим слагаемые, содержащие \(x\): \[ \frac{1}{3}x+\frac{5}{6}x=\frac{2}{6}x+\frac{5}{6}x \] \[ \frac{2}{6}x+\frac{5}{6}x=\frac{7}{6}x \] Получаем уравнение: \[ \frac{7}{6}x+\frac{11}{4}=3 \] Вычтем \(\frac{11}{4}\) из обеих частей: \[ \frac{7}{6}x=3-\frac{11}{4} \] \[ 3-\frac{11}{4}=\frac{12}{4}-\frac{11}{4} \] \[ \frac{12}{4}-\frac{11}{4}=\frac{1}{4} \] Значит, \[ \frac{7}{6}x=\frac{1}{4} \] Разделим обе части на \(\frac{7}{6}\): \[ x=\frac{1}{4}:\frac{7}{6} \] \[ x=\frac{1}{4}\cdot\frac{6}{7} \] \[ x=\frac{3}{14} \]
Ответ. \(x=\frac{3}{14}\). - Задача. Из \(A\) в \(B\) выехал гоночный автомобиль со скоростью \(132\) км/ч. Через \(2\) часа из \(B\) в \(A\) выехал грузовик. Гоночный автомобиль доехал до \(B\), повернул обратно и догнал грузовик. К этому моменту грузовик проехал треть пути от \(B\) к \(A\) за \(6\) часов. Найдите скорость грузовика.
Решение. Грузовик был в пути \(6\) часов. Гоночный автомобиль выехал на \(2\) часа раньше, значит к моменту встречи он был в пути: \[ 6+2=8 \] часов.
За \(8\) часов гоночный автомобиль проехал: \[ 132\cdot 8=1056 \] км.
Сначала автомобиль проехал весь путь от \(A\) до \(B\), а затем ещё треть этого пути от \(B\) обратно. Значит, весь путь автомобиля состоит из четырёх одинаковых частей, каждая из которых равна трети расстояния между городами.
Найдём длину одной такой части: \[ 1056:4=264 \] км.
Именно \(264\) км проехал грузовик за \(6\) часов. Найдём его скорость: \[ 264:6=44 \] км/ч.
Ответ. \(44\) км/ч. - Задача. В двух корзинах было \(77\) яблок. В первую корзину Ася добавила \(16\) яблок, а из второй убрала \(21\) яблоко. После этого во второй корзине стало в \(3\) раза меньше яблок, чем в первой. Сколько яблок было в каждой корзине первоначально?
Решение. После всех изменений общее количество яблок стало равно: \[ 77+16=93 \] \[ 93-21=72 \]
Во второй корзине стало в \(3\) раза меньше яблок, чем в первой. Значит, количество яблок в первой и второй корзинах относится как \(3:1\). Всего получается: \[ 3+1=4 \] равные части.
Найдём, сколько яблок приходится на одну часть: \[ 72:4=18 \]
Значит, после изменений во второй корзине было \(18\) яблок, а в первой: \[ 18\cdot 3=54 \] яблока.
В первую корзину добавили \(16\) яблок. Значит, первоначально в ней было: \[ 54-16=38 \] яблок.
Из второй корзины убрали \(21\) яблоко. Значит, первоначально в ней было: \[ 18+21=39 \] яблок.
Проверка: \[ 38+39=77 \]
Ответ. В первой корзине было \(38\) яблок, во второй – \(39\) яблок. - Задача. Было записано число. Его увеличили на чётное двузначное число, в котором цифра десятков в три раза больше цифры единиц. Затем результат разделили на наибольшее однозначное число, прибавили число, следующее за \(12\), и увеличили во столько раз, сколько нечётных чисел находится от \(22\) до \(36\). Получилось \(147\). Найдите первоначальное число.
Решение. Сначала найдём чётное двузначное число. Его цифра единиц должна быть чётной, а цифра десятков – в \(3\) раза больше. Подходят цифра единиц \(2\) и цифра десятков \(6\). Значит, к первоначальному числу прибавили: \[ 62 \]
Наибольшее однозначное число равно: \[ 9 \] Число, следующее в натуральном ряду за \(12\), равно: \[ 13 \]
Нечётные числа от \(22\) до \(36\): \[ 23,\ 25,\ 27,\ 29,\ 31,\ 33,\ 35 \] Таких чисел \(7\). Значит, на последнем шаге результат увеличили в \(7\) раз.
Теперь выполним действия в обратном порядке. До умножения на \(7\) было: \[ 147:7=21 \] До прибавления \(13\) было: \[ 21-13=8 \] До деления на \(9\) было: \[ 8\cdot 9=72 \] До прибавления \(62\) было: \[ 72-62=10 \]
Проверка: \[ 10+62=72 \] \[ 72:9=8 \] \[ 8+13=21 \] \[ 21\cdot 7=147 \]
Ответ. \(10\). - Задача. У Коли был брусок пластилина в форме кирпичика длиной \(45\) см, шириной \(24\) см и высотой \(8\) см. Вася отрезал кусок так, что длина оставшегося бруска стала в \(3\) раза меньше. Из отрезанного куска он слепил новый кирпичик длиной \(20\) см и высотой \(16\) см. Найдите ширину нового кирпичика.
Решение. После отрезания длина оставшегося бруска стала в \(3\) раза меньше: \[ 45:3=15 \] см.
Значит, длина отрезанного куска равна: \[ 45-15=30 \] см.
Ширина и высота отрезанного куска остались равными \(24\) см и \(8\) см. Найдём его объём: \[ 30\cdot 24=720 \] \[ 720\cdot 8=5760 \] куб. см.
При лепке количество пластилина не изменилось, значит объём нового кирпичика тоже равен \(5760\) куб. см.
Найдём произведение длины и высоты нового кирпичика: \[ 20\cdot 16=320 \]
Теперь найдём ширину: \[ 5760:320=18 \] см.
Ответ. \(18\) см. - Задача. Миша начертил треугольник \(ABC\). Сторона \(AB\) равна \(168\) мм и составляет \(\frac{3}{8}\) периметра. Сторона \(BC\) равна \(\frac{2}{7}\) периметра. Найдите сторону \(AC\).
Решение. Сторона \(AB\), равная \(168\) мм, составляет \(3\) одинаковые части из \(8\). Найдём длину одной части: \[ 168:3=56 \] мм.
Найдём периметр треугольника: \[ 56\cdot 8=448 \] мм.
Сторона \(BC\) составляет \(\frac{2}{7}\) периметра. Сначала найдём одну седьмую периметра: \[ 448:7=64 \] мм.
Тогда сторона \(BC\) равна: \[ 64\cdot 2=128 \] мм.
Найдём третью сторону треугольника: \[ 448-168=280 \] \[ 280-128=152 \] мм.
Ответ. \(152\) мм. - Задача. На плацу командир строил солдат в колонну из \(12\) одинаковых рядов, затем из \(20\) одинаковых рядов и, наконец, из \(8\) одинаковых рядов. Найдите наименьшее возможное количество солдат.
Решение. Количество солдат должно делиться без остатка на \(12\), \(20\) и \(8\). Найдём наименьшее общее кратное этих чисел.
Разложим числа на множители: \[ 12=2\cdot 2\cdot 3 \] \[ 20=2\cdot 2\cdot 5 \] \[ 8=2\cdot 2\cdot 2 \] Для наименьшего общего кратного нужно взять три множителя \(2\), один множитель \(3\) и один множитель \(5\): \[ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=120 \] Проверим: \[ 120:12=10 \] \[ 120:20=6 \] \[ 120:8=15 \] Значит, \(120\) делится на все три числа.
Ответ. \(120\) солдат. - Задача. Три крана могут наполнить пустую ванну соответственно за \(8\) мин, \(10\) мин и \(15\) мин. Через дырку полная ванна опорожняется за \(24\) мин. Пустую ванну начали одновременно наполнять всеми тремя кранами, не закрывая дырку. Через какое время ванна наполнится?
Решение. За одну минуту первый кран наполняет: \[ \frac{1}{8} \] ванны.
За одну минуту второй кран наполняет: \[ \frac{1}{10} \] ванны.
За одну минуту третий кран наполняет: \[ \frac{1}{15} \] ванны.
Через дырку за одну минуту вытекает: \[ \frac{1}{24} \] ванны.
Приведём все дроби к общему знаменателю \(120\): \[ \frac{1}{8}=\frac{15}{120} \] \[ \frac{1}{10}=\frac{12}{120} \] \[ \frac{1}{15}=\frac{8}{120} \] \[ \frac{1}{24}=\frac{5}{120} \] За одну минуту в ванне прибавляется: \[ \frac{15}{120}+\frac{12}{120}+\frac{8}{120}-\frac{5}{120}=\frac{30}{120} \] \[ \frac{30}{120}=\frac{1}{4} \] ванны.
Если за одну минуту наполняется \(\frac{1}{4}\) ванны, то вся ванна наполнится за: \[ 1:\frac{1}{4}=4 \] минуты.
Ответ. \(4\) минуты.
Материалы школы Юайти
Другие варианты этого экзамена
Записаться на подготовку к поступлению в школу
1. Консультация с менеджером
Менеджер уточняет, в какую школу и в какой класс поступает ребёнок, и подбирает формат подготовки.
2. Тестирование с методистом
Методист определяет уровень, находит пробелы и оценивает готовность к нужному курсу.
3. Индивидуальный учебный план
Вы получаете понятные рекомендации: с чего начать, как двигаться дальше и к какому результату придём.
Записаться на подготовку к поступлению в школу
Заявка принята!
Мы уже получили заявку и скоро свяжемся. Расскажите немного о ребёнке — так быстрее подберём группу (необязательно).
Спасибо!
Мы свяжемся с вами в ближайшее время.