Лицей №1525 «Воробьёвы Горы» из 4 в 5 класс 1 марта 2026 | Вариант 2
Печать
youit.school ©
Лицей «Воробьевы горы»
Вариант 2. Переход $4 \to 5$ класс
Вступительная работа
01 марта 2026
- Аккуратно перерисуйте картинку и отметьте на ней ту область (или области), которые находятся ниже прямой, вне круга, внутри квадрата и вне треугольника.
Геометрический рисунок - В 7 часов 45 минут у Пети прозвенит будильник и ему нужно будет встать в школу. Он за полчаса соберется, за 35 минут дойдет до школы и точно успеет к первому уроку, который начинается в 9:00. Но после того, как прозвенел будильник, Петя еще провалялся в постели 10 минут. Успеет ли он теперь на урок?
- Сегодня 1 марта 2026 года. Эту дату можно записать как 1.3.26 (опустив нули в начале каждого числа, которое меньше 10 и век). Легко заметить, что число составленное из цифр числа и месяца (сегодня это число 13) делится на 13, и число года 26 – тоже делится на 13. А какая самая последняя дата этого года, составленная по такому же принципу, будет делиться на 13?
- Коты Барсик и Василий украли из магазина цепочку из 100 сосисок и начали есть ее с противоположных концов. Барсик съедает 4 сосиски за минуту, Василий съедает за это время целых 6. В какой-то момент из-за угла выпрыгнул кот Кузя, вырвал из цепочки одну сосиску, разделив цепочку на две части, и убежал. Кузя и Барсик в недоумении продолжили есть. В итоге Барсик закончил есть свой кусок сосисок позже Василия менее, чем на минуту. По сколько сосисок съел каждый кот?
- На острове рыцарей и лжецов (где рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут), существует клуб любителей домашних животных «КотоПёс». На очередное собрание клуба пригласили тех, у кого дома 2 животных и попросили заполнить анкету. В анкете надо было поставить галочку напротив одной из строк:
- У меня дома 2 собаки,
- У меня дома 2 кошки,
- У меня дома 1 собака и 1 кошка.
При этом лжецы в своих ответах меняли 2 собак на 2 кошек, а 2 кошек на 2 собак. А если у них было по 1 кошке и 1 собаке, то ставили по 2 галочки, соблюдая тот факт, что они лжецы. В итоге, когда проверили анкеты, получили следующие данные:
- 2 собаки у 143 человек,
- 2 кошки у 37 человек,
- 1 собака и 1 кошка у 101 человека.
Сколько человек имеет питомцев разного вида дома, если всего на собрании было 250 человек? - Холодным воскресным утром Катя решила сходить купить себе мороженое. Выйдя из дома, она пошла прямо, потом повернула направо, потом, пройдя немного, повернула налево, потом вскоре снова направо, чуть прошла и оказалась ровно перед ларьком с надписью «Эскимо». Купив мороженое, Катя пошла домой другим путем. От ларька повернула направо, потом снова направо, потом налево, потом снова направо и дошла до дома. При этом на дорогу обратно она затратила столько же времени, не меняя свою скорость. Нарисуйте (используя для удобства клеточки) пример маршрута Кати.
- Ваня и Саня купили по пачке из 56 конфет и часть съели. При этом у Вани осталось конфет в 3 раза больше, чем съел Саня, а у Сани осталось в 5 раз больше конфет, чем съел Ваня. Кто сколько съел?
- На чердаке живут восьминогие паучки и шестиногие жучки. Всего у них 166 лапок. В один из дней паучки съели по одному жучку, а часть жучков остались не съеденными. Сколько жучков могло остаться жить на чердаке?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Лицей «Воробьевы горы»
Вариант 2. Решения. Переход $4 \to 5$ класс
Вступительная работа
01 марта 2026
- Задача. На рисунке нужно отметить те области, которые находятся ниже прямой, вне круга, внутри квадрата и вне треугольника.
Решение.
Нужно найти часть рисунка, которая сразу подходит под все четыре условия. Ниже прямой находится нижняя часть рисунка, внутри квадрата – только то, что попадает в квадрат. Между основанием треугольника и прямой почти всё занято самим треугольником, поэтому эта часть не подходит. Круг не задевает нижнюю полоску квадрата и не попадает в маленький участок у левой стороны квадрата. Значит, надо отметить две области: всю нижнюю полоску квадрата под треугольником и маленький кусочек слева вверху квадрата, который лежит ниже прямой и вне треугольника.
Ответ. Нужно закрасить две области: нижнюю полоску квадрата под треугольником и маленький участок у левой стороны квадрата ниже прямой. - Задача. Будильник у Пети прозвенел в 7 часов 45 минут. На сборы ему нужно 30 минут, на дорогу до школы – 35 минут. Сначала он точно успевал к уроку на 9:00, но после звонка будильника еще лежал 10 минут. Нужно узнать, успеет ли он теперь.
Решение. На сборы и дорогу Пете нужно всего $30 + 35 = 65$ минут. Если встать сразу в 7:45, то он придет в 8:50. Но Петя пролежал еще 10 минут, значит собираться он начнет только в 7:55. Тогда $7{:}55 + 65$ минут $= 9{:}00$. Значит, он придет ровно к началу первого урока.
Ответ. Да, успеет, но придет ровно к 9:00, без запаса времени. - Задача. Сегодня 1 марта 2026 года, и число 13, составленное из дня и месяца, делится на 13. Нужно найти самую последнюю дату 2026 года, для которой число, составленное из дня и месяца, тоже делится на 13.
Решение. Ищем самую позднюю дату, значит сначала надо смотреть декабрь. Проверим последние дни декабря: для 31 декабря получаем число 3112, для 30 декабря – 3012, для 29 декабря – 2912. Имеем $3112 = 13 \cdot 239 + 5$, значит не делится; $3012 = 13 \cdot 231 + 9$, тоже не делится; $2912 = 13 \cdot 224$, делится без остатка. Значит, дальше искать уже не нужно, потому что 29 декабря позже всех подходящих дат в этом году.
Ответ. $29.12.26$. - Задача. В цепочке было 100 сосисок. Барсик ел с одного конца по 4 сосиски в минуту, Василий – с другого конца по 6 сосисок в минуту. Кузя вырвал одну сосиску из середины цепочки и убежал. После этого Барсик и Василий продолжили есть. Барсик закончил позже Василия меньше чем на 1 минуту. Нужно узнать, сколько сосисок съел каждый.
Решение. Кузя утащил одну сосиску, значит Барсик и Василий вместе съели $100 - 1 = 99$ сосисок. Если бы Барсик съел 39 сосисок, то Василий съел бы 60, и тогда Барсик закончил бы раньше: $39 : 4 = 9$ мин $45$ с, а $60 : 6 = 10$ мин. Значит, Барсик съел не меньше 40 сосисок. Если бы Барсик съел 42 сосиски, то Василий съел бы 57, и тогда разница была бы ровно 1 минута: $42 : 4 = 10$ мин $30$ с, а $57 : 6 = 9$ мин $30$ с. Значит, Барсик мог съесть только 40 или 41 сосиску. Тогда Василий съел соответственно 59 или 58 сосисок.
Ответ. Возможны два варианта: Барсик съел 40 сосисок, а Василий 59; или Барсик съел 41 сосиску, а Василий 58. - Задача. На собрании клуба было 250 человек, у каждого дома по 2 животных. В анкетах получили такие отметки: про 2 собак – 143 человека, про 2 кошек – 37 человек, про 1 собаку и 1 кошку – 101 человек. Нужно узнать, сколько людей на самом деле имеют дома животных разного вида.
Решение. Всего людей было 250, а отметок в анкетах получилось $143 + 37 + 101 = 281$. Значит, появилось $281 - 250 = 31$ лишняя галочка. Лишняя галочка возникает только у лжеца, у которого дома 1 собака и 1 кошка, потому что такой человек ставит сразу 2 галочки вместо одной. Значит, таких лжецов было 31. Еще 101 человек честно отметил строку про 1 собаку и 1 кошку. Поэтому всего людей с питомцами разного вида было $101 + 31 = 132$.
Ответ. 132 человека. - Задача. Катя шла к ларьку так: прямо, направо, налево, направо. Обратно она шла так: направо, направо, налево, направо. Скорость была той же самой, и времени на обратную дорогу ушло столько же. Нужно привести пример такого маршрута.
Решение. Подойдет, например, такой путь по клеточкам. Из дома Катя идет 4 клетки вправо, потом 3 клетки вниз, потом 2 клетки вправо, потом 1 клетку вниз и приходит к ларьку. Обратно от ларька она идет 1 клетку влево, потом 2 клетки вверх, потом 5 клеток влево, потом 2 клетки вверх и приходит домой. Повороты при таком маршруте идут именно в нужном порядке, а длина пути туда равна $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ клеток, обратно тоже $1 + 2 + 5 + 2 = 10$ клеток. Значит, при одинаковой скорости время будет одинаковым.
Ответ. Например: к ларьку – 4 клетки вправо, 3 вниз, 2 вправо, 1 вниз; обратно – 1 влево, 2 вверх, 5 влево, 2 вверх. - Задача. У Вани и Сани было по 56 конфет. После того как они часть конфет съели, у Вани осталось в 3 раза больше конфет, чем съел Саня, а у Сани осталось в 5 раз больше конфет, чем съел Ваня. Нужно узнать, кто сколько съел.
Решение. Пусть Ваня съел некоторое число конфет, а Саня – некоторое число конфет. Тогда у Вани было: съел Ваня и осталось в 3 раза больше, чем съел Саня. У Сани было: съел Саня и осталось в 5 раз больше, чем съел Ваня. Так как у обоих сначала было по 56 конфет, получаем равенство: съел Ваня $+ 3 \cdot$ съел Саня $=$ съел Саня $+ 5 \cdot$ съел Ваня. Отсюда $2 \cdot$ съел Саня $= 4 \cdot$ съел Ваня, значит Саня съел в 2 раза больше Вани. Тогда у Вани 1 часть съедена, а осталось 6 таких частей, всего 7 частей. Значит, $56 : 7 = 8$, Ваня съел 8 конфет, а Саня в 2 раза больше, то есть 16 конфет.
Ответ. Ваня съел 8 конфет, Саня съел 16 конфет. - Задача. На чердаке живут паучки с 8 лапками и жучки с 6 лапками. Всего у них 166 лапок. Однажды каждый паучок съел по одному жучку, но часть жучков осталась. Нужно узнать, сколько жучков могло остаться.
Решение. Если бы на чердаке были только жучки, то 27 жучков дали бы $27 \cdot 6 = 162$ лапки. До 166 лапок не хватает 4 лапок. Если заменить одного жучка одним паучком, то лапок станет на 2 больше, значит сначала получаем один вариант: 2 паучка и 25 жучков. Дальше можно заменить 4 жучков на 3 паучков, потому что $4 \cdot 6 = 3 \cdot 8 = 24$, и общее число лапок не изменится. Тогда получаем еще варианты: 5 паучков и 21 жучок, 8 паучков и 17 жучков, 11 паучков и 13 жучков. После того как каждый паучок съест по одному жучку, останется соответственно $25 - 2 = 23$, $21 - 5 = 16$, $17 - 8 = 9$, $13 - 11 = 2$ жучка.
Ответ. Могло остаться 23, 16, 9 или 2 жучка.
Материалы школы Юайти