Гимназия № 1543 из 4 в 5 класс 2026 год Вариант 2

1. Выполните действия: $8100\cdot 609:783-683$.
2. В школе учатся 60 пятиклассников. Для учеников пятых и шестых классов есть театральная студия. Треть её участников – пятиклассники. Четверть всех пятиклассников посещает театральную студию. Сколько шестиклассников занимаются в театральной студии?
3. Ёлка и берёза растут на расстоянии 168 метров друг от друга. Ёж побежал от ёлки к берёзе. Через 4 минуты навстречу ему от берёзы побежал Заяц. Пробежав 5 минут, Заяц встретил Ежа, а ещё через 3 минуты добежал до ёлки. За сколько времени Ёж пробежал от ёлки до берёзы?
4. На прямоугольный лист белой бумаги периметра 1~м 76~см наклеили серый прямоугольник периметра 1~м 4~см так, что со всех сторон осталась белая каёмка одной и той же ширины (см. рис.). На сколько квадратных сантиметров площадь серого прямоугольника меньше площади листа, на который его наклеили?
   
5. За каждый из 12 месяцев папа Карло заработал на 132 золотых меньше, чем за весь год. Сколько золотых заработал папа Карло за год?
6. По кругу на равных расстояниях друг от друга лежат шарики с номерами от 1 до 176 по порядку по часовой стрелке. Шарик с каким номером находится напротив шарика 125?
7. Костя взял ножницы и разрезал квадрат размером $12\text{ см}\times 12\text{ см}$ на квадраты $2\text{ см}\times 2\text{ см}$ и $1\text{ см}\times 1\text{ см}$. Суммарная длина всех разрезов оказалась равна 164~см. Сколько квадратов каждого вида у него получилось?
8. В клетках записаны все числа от 7 до 20 по одному разу:
   
   Наименьшая разница между числами в соседних клетках равна 3. Запишите эти же числа в другом порядке, чтобы наименьшая разница между числами в соседних клетках оказалась как можно больше. Напишите в ответе, чему она равна.
   

Решения

1. Задача. Найти значение выражения $8100\cdot 609:783-683$.
   Решение. Сначала выполним умножение: \[ 8100\cdot 609=4\,932\,900. \] Затем $4\,932\,900:783=6300$. Осталось вычесть: \[ 6300-683=5617. \]
   Ответ. $5617$.
   
2. Задача. В школе учатся $60$ пятиклассников. Четверть всех пятиклассников посещает театральную студию, а пятиклассники составляют треть всех участников студии. Сколько шестиклассников занимается в студии?
   Решение. Пятиклассников в театральной студии \[ 60:4=15. \] Эти $15$ учеников составляют треть всех участников, значит всего в студии $15\cdot 3=45$ учеников. Тогда шестиклассников в студии \[ 45-15=30. \]
   Ответ. $30$ шестиклассников.
   
3. Задача. Ёлка и берёза находятся на расстоянии $168$ м. Ёж побежал от ёлки к берёзе. Через $4$ минуты навстречу ему побежал Заяц. Через $5$ минут Заяц встретил Ежа, а ещё через $3$ минуты добежал до ёлки. За сколько минут Ёж пробежит от ёлки до берёзы?
   Решение. Заяц пробежал всё расстояние от берёзы до ёлки за $5+3=8$ минут. Его скорость равна $168:8=21$ м/мин. До встречи Заяц пробежал $21\cdot 5=105$ м, значит Ёж пробежал $168-105=63$ м. Ёж бежал до встречи $4+5=9$ минут, поэтому его скорость равна $63:9=7$ м/мин. Всё расстояние Ёж пробежит за $168:7=24$ минуты.
   Ответ. За $24$ минуты.
   
4. Задача. Периметр прямоугольного листа равен $1$ м $76$ см, а периметр наклеенного на него серого прямоугольника равен $1$ м $4$ см. Со всех сторон оставлена белая каёмка одинаковой ширины. На сколько квадратных сантиметров площадь серого прямоугольника меньше площади листа?
   Решение. Переведём периметры в сантиметры: получаем $176$ см и $104$ см. Их разность равна $176-104=72$ см. Длина и ширина серого прямоугольника короче соответствующих сторон листа на две ширины каёмки, поэтому разность периметров содержит восемь ширин каёмки. Ширина каёмки равна $72:8=9$ см. Разобьём каёмку на четыре прямоугольные полоски шириной $9$ см. Сумма длин этих полосок равна $176-4\cdot 9=140$ см, поэтому площадь каёмки равна \[ 140\cdot 9=1260\text{ см}^2. \]
   Ответ. На $1260$ см$^2$.
   
5. Задача. За каждый из $12$ месяцев папа Карло заработал на $132$ золотых меньше, чем за весь год. Сколько золотых он заработал за год?
   Решение. Годовой заработок состоит из $12$ одинаковых месячных заработков. Значит, разница между годовым заработком и заработком за один месяц равна заработку за $11$ месяцев. За один месяц папа Карло заработал \[ 132:11=12 \] золотых. Тогда за год он заработал \[ 12\cdot 12=144 \] золотых.
   Ответ. $144$ золотых.
   
6. Задача. По кругу на равных расстояниях расположены шарики с номерами от $1$ до $176$. Какой шарик находится напротив шарика № $125$?
   Решение. Напротив каждого шарика находится шарик, отстоящий от него на половину круга. Половина числа шариков равна \[ 176:2=88. \] Считаем $125+88=213$. После шарика № $176$ нумерация начинается снова, поэтому $213-176=37$.
   Ответ. Шарик № $37$.
   
7. Задача. Квадрат размером $12$ см на $12$ см разрезали на квадраты размером $2$ см на $2$ см и $1$ см на $1$ см. Суммарная длина всех разрезов равна $164$ см. Сколько квадратов каждого размера получилось?
   Решение. Периметр исходного квадрата равен $12\cdot 4=48$ см. При сложении периметров всех полученных квадратов каждый разрез учитывается дважды, поэтому сумма периметров равна \[ 48+164\cdot 2=376\text{ см}. \] Если бы весь квадрат разрезали только на квадраты $1$ см на $1$ см, получилось бы $12\cdot 12=144$ квадрата с общей суммой периметров $144\cdot 4=576$ см. Один квадрат $2$ см на $2$ см заменяет четыре маленьких квадрата и уменьшает сумму их периметров на $4\cdot 4-8=8$ см. Значит, квадратов $2$ см на $2$ см получилось $(576-376):8=25$. Они занимают площадь $25\cdot 4=100$ см$^2$, поэтому квадратов $1$ см на $1$ см получилось $144-100=44$.
   Ответ. $25$ квадратов размером $2$ см на $2$ см и $44$ квадрата размером $1$ см на $1$ см.
   
8. Задача. Расположить числа от $7$ до $20$ так, чтобы наименьшая разница между числами в соседних клетках была как можно больше. Найти эту разницу.
   Решение. Подходит такой порядок: \[ 14,\ 7,\ 15,\ 8,\ 16,\ 9,\ 17,\ 10,\ 18,\ 11,\ 19,\ 12,\ 20,\ 13. \] Разности соседних чисел здесь поочерёдно равны $7$ и $8$, поэтому наименьшая разница равна $7$. Получить наименьшую разницу $8$ нельзя: число $13$ отличается от любого числа от $7$ до $20$ не более чем на $7$, но в ряду оно обязательно должно стоять рядом хотя бы с одним числом.
   Ответ. $7$.