Гимназия № 1543 из 4 в 5 класс 2026 год Вариант 1

1. Выполните действия: $9500\cdot 806:589-489$.
2. В школе есть футбольная секция и хор. На футбол ходят 30 учеников. Среди хористов треть посещает ещё и футбольную секцию. Среди футболистов пятая часть ещё и в хоре поёт. Сколько человек в хоре поют, а на футбол не ходят?
3. Между городами А и Б 840~км. Грузовик выехал из А в Б. Через 5 часов навстречу ему из Б выехал автобус. Автобус от Б до встречи с грузовиком ехал 4 часа, а через 6 часов после встречи приехал в город А. Сколько времени занял у грузовика весь путь от А до Б?
4. На прямоугольный лист белой бумаги периметра 1~м 6~см наклеили серый прямоугольник периметра 78~см (см. рис.). С двух сторон осталась белая каёмка одной и той же ширины. Найдите её площадь.
   
5. У каждого из семи гномов на 126 изумрудов меньше, чем у всех семи вместе взятых. Сколько изумрудов у всех гномов вместе взятых?
6. По кругу на равных расстояниях друг от друга лежат шарики с номерами от 1 до 168 по порядку по часовой стрелке. Шарик с каким номером находится напротив шарика 143?
7. Дима взял ножницы и разрезал квадрат размером $10\text{ см}\times 10\text{ см}$ на квадраты $2\text{ см}\times 2\text{ см}$ и $1\text{ см}\times 1\text{ см}$. Суммарная длина всех разрезов оказалась равна 112~см. Сколько квадратов каждого вида у него получилось?
8. В клетках записаны все числа от 10 до 25 по одному разу:
   
   Наименьшая разница между числами в соседних клетках равна 4. Запишите эти же числа в другом порядке, чтобы наименьшая разница между числами в соседних клетках оказалась как можно больше. Напишите в ответе, чему она равна.
   

Решения

1. Выполните действия: $9500\cdot 806:589-489$.
   Решение:
   1. $9500\cdot 806=7657000$;
   2. $7657000:589=13000$;
   3. $13000-489=12511$.
   
   Ответ: 12511.
2. В школе есть футбольная секция и хор. На футбол ходят 30 учеников. Среди хористов треть посещает ещё и футбольную секцию. Среди футболистов пятая часть ещё и в хоре поёт. Сколько человек в хоре поют, а на футбол не ходят?
   Решение:
   1. $30:5=6$ (чел.) – поют в хоре и ходят на футбол.
   2. $6\cdot 3=18$ (чел.) – всего поют в хоре.
   3. $18-6=12$ (чел.) – в хоре поют, а на футбол не ходят.
   
   Ответ: 12 человек.
3. Между городами А и Б $840~км$. Грузовик выехал из А в Б. Через 5 часов навстречу ему из Б выехал автобус. Автобус от Б до встречи с грузовиком ехал 4 часа, а через 6 часов после встречи приехал в город А. Сколько времени занял у грузовика весь путь от А до Б?
   Решение:
   1. $4+6=10$ (ч) – ехал автобус из Б в А.
   2. $840:10=84$ (км/ч) – скорость автобуса.
   3. $84\cdot 6=504$ (км) – расстояние от А до места встречи.
   4. $4+5=9$ (ч) – ехал грузовик от А до места встречи.
   5. $504:9=56$ (км/ч) – скорость грузовика.
   6. $840:56=15$ (ч) – ехал грузовик из А в Б.
   
   Ответ: 15 часов.
   Замечание. На самом деле для решения задачи не требуется знать расстояние между городами. Можно рассуждать так. Автобус от Б до встречи ехал 4 часа, а потом до А – 6 часов, что в полтора раза дольше. Значит, и расстояние от А до точки встречи в полтора раза больше, чем от Б до неё. Грузовик от А до встречи ехал $5+4=9$ часов, а после встречи будет ехать в полтора раза меньше, то есть 6 часов. Весь его путь займёт тогда $9+6=15$ часов.
4. На прямоугольный лист белой бумаги периметра $1~м$ $ 6~см$ наклеили серый прямоугольник периметра $78~см$ (см. рис.). С двух сторон осталась белая каёмка одной и той же ширины. Найдите её площадь.
   
   
   
   Решение:
   1. $106:2=53$ (см) – полупериметр исходного листа бумаги.
   2. $78:2=39$ (см) – полупериметр серого прямоугольника.
   3. $53-39=14$ (см) – удвоенная ширина каёмки (так как и длина, и ширина исходного листа больше соответствующей стороны серого прямоугольника на ширину каёмки).
   4. $14:2=7$ (см) – ширина каёмки.
   5. $7\cdot 39+7\cdot 7=322$ (см$^2$) – площадь каёмки.
   
   Ответ: $322~см$$^2$.
   Последнее действие можно пояснить, продлив стороны серого прямоугольника. При этом каёмка разобьётся на три части. Правая нижняя – квадрат со стороной $7~см$. Две оставшиеся – прямоугольники. Ширина каждого из них равна $7~см$. Длина одного равна длине серого прямоугольника, а другого – ширине серого прямоугольника. Если разместить их рядом, получится прямоугольник с шириной $7~см$ и длиной, равной полупериметру серого прямоугольника, то есть $39~см$.
5. У каждого из семи гномов на 126 изумрудов меньше, чем у всех семи вместе взятых. Сколько изумрудов у всех гномов вместе взятых?
   Решение.
   Так как у каждого меньше на одно и то же число, то у всех поровну. У одного меньше на 126 изумрудов, чем у всех семи, значит, у остальных шести гномов 126 изумрудов. У каждого по $126:6=21$. А у всех семи $21\cdot 7=147$.
   Ответ: 147 изумрудов.
6. По кругу на равных расстояниях друг от друга лежат шарики с номерами от 1 до 168 по порядку по часовой стрелке. Шарик с каким номером находится напротив шарика 143?
   Решение.
   Разность номеров шариков, лежащих напротив друг друга, составляет $168:2=84$. Напротив шарика номер 143 лежит шарик номер $143-84=59$.
   Ответ: 59.
7. Дима взял ножницы и разрезал квадрат размером $10\text{ см}\times 10\text{ см}$ на квадраты $2\text{ см}\times 2\text{ см}$ и $1\text{ см}\times 1\text{ см}$. Суммарная длина всех разрезов оказалась равна $112~см$. Сколько квадратов каждого вида у него получилось?
   Решение. Для разрезания квадрата $10\text{ см}\times 10\text{ см}$ только на маленькие квадратики $1\text{ см}\times 1\text{ см}$ надо сделать 9 горизонтальных и 9 вертикальных разрезов длиной по $10~см$, их суммарная длина равна $180~см$. При объединении четырёх маленьких квадратов $1\text{ см}\times 1\text{ см}$ в один большой квадрат $2\text{ см}\times 2\text{ см}$ суммарная длина разрезов уменьшается на $4~см$. Чтобы уменьшить её на $180-112=68$$~см$, надо сделать $68:4=17$ больших квадратов из 68 маленьких. А маленьких останется $100-68=32$.
   Ответ: 17 квадратов $2\text{ см}\times 2\text{ см}$ и 32 квадрата $1\text{ см}\times 1\text{ см}$.
8. В клетках записаны все числа от 10 до 25 по одному разу:
   
   Наименьшая разница между числами в соседних клетках равна 4. Запишите эти же числа в другом порядке, чтобы наименьшая разница между числами в соседних клетках оказалась как можно больше. Напишите в ответе, чему она равна.
   
   
   Ответ: наименьшая разница равна 8. Числа можно разместить, например, так:
   Пояснение. Улучшить этот результат нельзя, так как число 17 ни от какого из других данных чисел не отличается более чем на 8.