ФМШ МИЭМ из 6 в 7 класс 2018 год вариант ФМШ 2018-07-1

ФМШ МИЭМ

2018 год

Вариант ФМШ 2018-07-1

1. Вычислите без помощи калькулятора: \[ -(1 - 3 + 5) - (3 - 5 + 7) + (7 - 9 + 11) + (9 - 11 + 13) - (13 - 15 + 17) - \dots - (9997 - 9999 + 10001) - (9999 - 10001 + 10003). \]
   
   
2. Что значит, что одно число больше другого в 2 раза? Всегда ли мы можем сказать, что одно из двух чисел больше другого во сколько-то раз? Если одно число больше другого в несколько раз, то во сколько раз сумма этих чисел будет больше каждого из исходных чисел? Ответы обосновать.\newline(Идея задачи: Никита Гусев, 8 класс, Москва)
   
   
3. Пакет с 0,9~л молока стоит 38~руб. 61~коп., а пакет с 1~кг молока (1~кг = 970~мл) стоит 41~руб. 71~коп. Какое молоко покупать выгоднее, и сколько будет стоить его литр?
   
   
4. Какую градусную меру может иметь угол, смежный с углом, являющимся вертикальным углом, смежному с тупым углом? Ответ обосновать.
   
   
5. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых отличаются не больше, чем на 2.
   
   
6. Докажите, что сумма трёх последовательных натуральных чис, делящихся на 3 (здесь и далее в данной задаче предполагается деление нацело), делится на 9. При каких условиях данная сумма будет делиться на 81? Ответ обосновать.
   
   
7. Чтобы превратить прямоугольник в квадрат, Вася отрезал от прямоугольника прямоугольник. Площадь получившегося квадрата оказалась на 20% меньше площади отрезанного прямоугольника. После этого Вася превратил и отрезанный прямоугольник в квадрат, отрезав от него прямоугольник. На сколько процентов площадь второго квадрата меньше площади первого квадрата?

Решения задач

1. Вычислите выражение: \[ -(1 - 3 + 5) - (3 - 5 + 7) + (7 - 9 + 11) + (9 - 11 + 13) - \dots - (9997 - 9999 + 10001) - (9999 - 10001 + 10003). \] Решение: Разложим каждую скобку:
   $-(1-3+5) = -3$ $-(3-5+7) = -5$ $+(7-9+11) = +9$ $+(9-11+13) = +11$ $- (13-15+17) = -15$, и т.д.
   Формируется последовательность чисел: -3, -5, +9, +11, -15, -17,... Каждые две группы (отрицательные и положительные) сокращаются до: $(-3-5)+(9+11)+(-15-17)+... = -8 + 20 -32 +...$ Последние члены последовательности: $-9999 + (10001 - 10001 + 10003) = -9999 + 10003 = 4$ Но по мере сокращений промежуточные члены взаимно уничтожаются, остается первый и последний: $-3 + 4 - 10003 = -10002$
   Ответ: -10002.
   
   
2. Что значит "число A больше B в 2 раза"? Это означает $A = 2B$. Условие возможно только для чисел одного знака. Если одно число противоположно по знаку другому, сравнение "во сколько раз" некорректно. Пусть $A = kB$, тогда сумма $A + B = kB + B = B(k+1)$.
   Если $k > 1$, сумма больше B в $(k + 1)$ раз. Если $0 < k <1$, сумма больше A в $\frac{k + 1}{k}$ раз.
   Ответ: Для одинаковых знаков корректно сравнение. Сумма больше меньшего числа в $(k+1)$ раз, или больше большего числа при $k\in (0, \infty)\setminus\{1\}$ в других соотношениях.
   
   
3. Сравнение стоимости литра молока:
   0.9 л = 38.61 руб. $\Rightarrow$ цена за литр: $\frac{38.61}{0.9} = 42.9$ руб.
   970 мл = 0,97 л за 41.71 руб. $\Rightarrow$ цена за литр: $\frac{41.71}{0.97} \approx 43$ руб.
   Выгоднее покупать пакет 0.9 л по цене 42.9 руб/л.
   Ответ: Выгоднее 0.9 л, 42.9 руб/л.
   
   
4. Исходный угол — смежный с тупым: тупой угол > 90°, его смежный угол < 90°. Вертикальный с ним угол равен смежному, значит будет острым. Смежный с вертикальным углом угол равен тупому углу (180° - острый угол = тупой).
   Ответ: Смежный угол может быть тупым (если исходный вертикальный угол острый) или острым при других условиях.
   
   
5. Множество точек, где $|x - y| \le 2$. Графически это полоса между линиями $y = x + 2$ и $y = x - 2$.
   Ответ: Все точки между $y = x + 2$ и $y = x - 2$.
   
   
6. Пусть числа: $3k, 3(k+1), 3(k+2)$. Сумма: $9k + 9 = 9(k + 1)$. Для делимости на 81 необходимо $k + 1 \div 9$ $\Rightarrow$ $k \equiv -1 \mod 9$.
   Ответ: Сумма делится на 9 всегда. На 81 делится при $k = 9m -1$, где $m \in \mathbb{N}$.
   
   
7. Пусть исходный прямоугольник имел размеры $a \times b$ (без ограничения общности $a > b$). После отрезания квадрата $b \times b$, площадь оставшейся части на 20% меньше квадрата: $0.8(b^2) = ab - b^2$ Отсюда $ab = 1.8b^2$ $\Rightarrow$ $a = 1.8b$. Второй квадрат: из прямоугольника $0.8b \times b$, его сторона $0.8b$, площадь $(0.8b)^2 = 0.64b^2$. Разница: $(1 - 0.64)/1 \cdot 100% = 36\%$.
   Ответ: На $36\%$.