ФМШ МИЭМ из 6 в 7 класс 2019 год вариант ФМШ 2019-07-2

ФМШ МИЭМ

2019 год

Вариант ФМШ 2019-07-2

1. Установите закономерность чисел следующего ряда и вычислите его сумму: $6 + 15 + 24 + \dots + 276 + 285 + 294 + 100$. (Автор задачи: Николай Дмитриев, 8 класс, Москва.)
2. Что означает фраза «число $a$ не делится на число $b$»? Можно ли сказать, что «любое число не может не делиться на любое другое» (возможно, за небольшим исключением)? Верно ли, что если некоторое число, которое не делится на 2, представлено в виде суммы двух чисел, то каждое из слагаемых тем не менее может не делиться на 2? Ответы обосновать.
3. Уж Кузька шипит 1 раз, если ему становится неуютно, и 4 раза, если его сильно напугают. За неделю Кузька шипел 35 раз. Сколько раз за неделю его могли сильно напугать, если это случается после того, как Кузька 4--5 раз становилось неуютно?
4. Часть графика линейной функции $y = 2x + b$ вместе с осями координат образует треугольник. После увеличения значения $b$ на 4 площадь треугольника увеличилась на 3 кв. ед. Чему равно исходное значение $b$?
5. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, модули координат которых отличаются на 3.
6. Дан угол $A_1OA_2$. Построим угол $A_1OA_3$, биссектрисой которого является $OA_2$, затем угол $A_1OA_4$, биссектрисой которого является $OA_3$, и т.д. Всегда ли мы сможем построить очередной угол? Зависит ли это от того, каким будет исходный угол $A_1OA_2$?
7. В разных местах Земли установлены столбы с указателями, на которых приведены названия городов и расстояния до них. Какое минимальное количество указателей на столбе необходимо, чтобы точно определить его местоположение, при условии, что у нас есть только карта местности и фотография столба? Может ли случиться, что при любом количестве указателей мы не сможем это сделать?
   

Решения задач

1. Установите закономерность чисел следующего ряда и вычислите его сумму: $6 + 15 + 24 + \dots + 276 + 285 + 294 + 100$.
   Решение: До числа 294 числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 6$ и разностью $d = 9$. Найдем количество членов прогрессии до 294:
   $a_n = 6 + (n-1) \cdot 9 = 294$
   $(n-1) \cdot 9 = 288$
   $n = 32$
   Сумма первых 32 членов:
   $S_{32} = \frac{2 \cdot 6 + (32-1) \cdot 9}{2} \cdot 32 = \frac{12 + 279}{2} \cdot 32 = 4950$
   Добавляем последнее число 100:
   $\text{Итоговая сумма} = 4950 + 100 = 5050$
   Ответ: 5050.
2. Что означает фраза «число $a$ не делится на число $b$»? Можно ли сказать, что «любое число не может не делиться на любое другое» (возможно, за небольшим исключением)? Верно ли, что если некоторое число, которое не делится на 2, представлено в виде суммы двух чисел, то каждое из слагаемых тем не менее может не делиться на 2? Ответы обосновать.
   Решение:
   1. Число $a$ не делится на $b$ означает, что при делении $a$ на $b$ есть ненулевой остаток.
   2. Утверждение ложно: существуют взаимно делители (например, 4 и 2).
   3. Нет: сумма двух нечётных чисел чётна. Чтобы сумма была нечётной, одно слагаемое должно быть чётным, другое — нечётным. Значит, хотя бы одно число делится на 2.
   Ответ:
   1. Остаток от деления $a$ на $b$ не равен нулю.
   2. Неверно: существуют числа, которые делятся друг на друга.
   3. Неверно: одно из слагаемых обязательно делится на 2.
   
   
   
3. Уж Кузька шипит 1 раз, если ему становится неуютно, и 4 раза, если его сильно напугают. За неделю Кузька шипел 35 раз. Сколько раз за неделю его могли сильно напугать, если это случается после того, как Кузька 4--5 раз становилось неуютно?
   Решение: Пусть $x$ — количество испугов, $y$ — разовый испуг. Тогда:
   $4x + y = 35$
   При условии $y \ge 4x$ (так как каждый испуг предваряется минимум 4 «неуютно»).
   Подставим $y = 35 - 4x$:
   $35 - 4x \ge 4x$
   $35 \ge 8x$
   $x \le \frac{35}{8} ≈ 4,375$.
   Максимальное целое $x = 4$. Проверка:
   $x = 4$, тогда $y = 35 - 16 = 19$.
   Ответ: 4 раза.
4. Часть графика линейной функции $y = 2x + b$ вместе с осями координат образует треугольник. После увеличения значения $b$ на 4 площадь треугольника увеличилась на 3 кв.~ед. Чему равно исходное значение $b$?
   Решение: Точки пересечения с осями: $(0; b)$ и $(-\frac{b}{2}; 0)$.
   Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot |b| \cdot \left|\frac{b}{2}\right| = \frac{b^2}{4}$.
   После увеличения $b$ на 4 площадь: $S' = \frac{(b + 4)^2}{4}$.
   Разность площадей: $\frac{(b + 4)^2}{4} - \frac{b^2}{4} = 3$
   $\frac{8b + 16}{4} = 3$
   $2b + 4 = 3$
   $b = -0,5$
   Ответ: $-0,5$.
5. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, модули координат которых отличаются на 3.
   Решение: Условие: $|x| - |y| = 3$ или $|y| - |x| = 3$. Это соответствует четырём прямым:
   
   • $y = x + 3$ (при $x \ge 0$)
   • $y = x - 3$ (при $x \ge 0$)
   • $y = -x + 3$ (при $x \le 0$)
   • $y = -x - 3$ (при $x \le 0$)
   Ответ: графики четырёх прямых, образующих ромбовидные углы.
6. Дан угол $A_1OA_2$. Построим угол $A_1OA_3$, биссектрисой которого является $OA_2$, затем угол $A_1OA_4$, биссектрисой которого является $OA_3$, и т.\,д. Всегда ли мы сможем построить очередной угол? Зависит ли это от того, каким будет исходный угол $A_1OA_2$?
   Решение: Каждое построение удваивает угол. Если исходный угол $\alpha$, то следующий будет $2\alpha$, затем $4\alpha$, и т.д. При достижении угла $180^\circ$ дальнейшее построение невозможно.
   Ответ: Нет, не всегда. Построение зависит от исходного угла: например, угол $90^\circ$ приведёт к последовательности $180^\circ$ (невозможно), угол $60^\circ$ — к $120^\circ$, далее $240^\circ$ (невозможно).
7. В разных местах Земли установлены столбы с указателями, на которых приведены названия городов и расстояния до них. Какое минимальное количество указателей на столбе необходимо, чтобы точно определить его местоположение, при условии, что у нас есть только карта местности и фотография столба? Может ли случиться, что при любом количестве указателей мы не сможем это сделать?
   Решение: Минимальное количество — три указателя. Точка пересечения трёх окружностей (если они не коллинеарны) даст единственную точку. Однако в случаях симметрии (например, столб на оси симметрии между городами) даже бесконечное число указателей может не определить позицию однозначно.
   Ответ: Минимум 3. Да, возможны случаи неоднозначности при симметрии.