ФМШ МИЭМ из 6 в 7 класс 2018 год вариант ФМШ 2018-II-07-2
СкачатьПечать
youit.school ©
ФМШ МИЭМ
2018 год
Вариант ФМШ 2018-II-07-2
- Вычислите:
\[
\frac{1 - \tfrac{1 - 2}{1 - 3} - 1}{1 - \tfrac{1 - 4}{1 - 5} - 1}
\;\cdot\;
\frac{1 + 2}{1 + 3}
\;:\;
\frac{1 + 4}{1 + 5}
- 1
-
\frac{1 - \tfrac{1 - 6}{1 - 7} - 1}{1 - \tfrac{1 - 8}{1 - 9} - 1}
+ 1.
\]
- Окружность и круг имеют общие точки. Всегда ли множество всех таких точек имеет длину? Может ли оно иметь площадь? Есть ли случаи, в которых указанному выше множеству принадлежала бы какая-нибудь окружность? Ответы обосновать.
- Настя идёт в школу в 2 раза медленнее Димы. Но если она по пути встретит Вику, то вместе они побегут в 3 раза быстрее идущего Димы. Расстояния от домов Насти и Димы до школы одинаковые. Какую часть пути Настя прошла до встречи с Викой, если она и Дима вышли из дома в одно время и подошли/прибежали к школе также одновременно?
- Сколько существует натуральных чисел, не превышающих 10000, которые делятся на 154, но не делятся на 21? Ответ обосновать.
- Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты которых являются противоположными числами, разность которых делится без остатка на 5.
- Найдите 2 числа, сумма которых в 3 раза больше их разности, и одно из этих чисел на 20 меньше другого.
- Почему Японию называют Страной восходящего солнца? Кому её логичнее было бы назвать Страной заходящего солнца? Ответы обосновать.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите:
\[
\frac{1 - \tfrac{1 - 2}{1 - 3} - 1}{1 - \tfrac{1 - 4}{1 - 5} - 1}
\;\cdot\;
\frac{1 + 2}{1 + 3}
\;:\;
\frac{1 + 4}{1 + 5}
- 1
-
\frac{1 - \tfrac{1 - 6}{1 - 7} - 1}{1 - \tfrac{1 - 8}{1 - 9} - 1}
+ 1.
\]
Решение: Последовательно упростим каждую часть:
Первая дробь: \[ \frac{1 - \frac{-1}{-2} - 1}{1 - \frac{-3}{-4} - 1} = \frac{1 - \frac{1}{2} - 1}{1 - \frac{3}{4} - 1} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{3}{4}} = \frac{2}{3} \]
Вторая часть: \[ \frac{3}{4} : \frac{5}{6} = \frac{3}{4} \times \frac{6}{5} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10} \]
Произведение первой части и второй: \[ \frac{2}{3} \times \frac{9}{10} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} \]
Третья дробь: \[ \frac{1 - \frac{-5}{-6} - 1}{1 - \frac{-7}{-8} - 1} = \frac{-\frac{5}{6}}{-\frac{7}{8}} = \frac{5}{6} \times \frac{8}{7} = \frac{40}{42} = \frac{20}{21} \]
Окончательное выражение: \[ \frac{3}{5} - 1 - \frac{20}{21} + 1 = \frac{3}{5} - \frac{20}{21} = \frac{63 - 100}{105} = -\frac{37}{105} \] Ответ: $-\dfrac{37}{105}$.
- Окружность и круг имеют общие точки. Длину имеет множество точек пересечения только в случаях полного совпадения окружностей или частичного пересечения (две точки или касание). Площадь может появиться, если окружность полностью внутри круга. Совпадение окружности с границей круга даёт бесконечное множество точек.
Ответ:
- Длина не всегда (например, касание).
- Площадь возможна при включении окружности в круг.
- Совпадение окружностей приводит к бесконечности точек.
- Скорость Насти $v/2$, Димы $v$, Насти и Вики $3v$. Время Димы $S/v$. Путь Насти до встречи $x = \frac{v}{2}t_1$, оставшийся путь $(S - x)$. Уравнение времени:
\[
t_1 + \frac{S - x}{3v} = \frac{S}{v}
\]
Решая, находим $x = \frac{2S}{5}$. Ответ: $\dfrac{2}{5}$.
- Числа, кратные 154 ($154 = 2 \times 7 \times 11$), но не кратные НОК(154,21)=462. Количество:
\[
\left\lfloor \frac{10000}{154} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{10000}{462} \right\rfloor = 64 - 21 = 43
\]
Ответ: 43.
- Условие: $2x \equiv 0 \mod5$, где точки вида $(x, -x)$. Решение: $x=5k$, $k \in \mathbb{Z}$. Ответ: точки $(5k, -5k)$.
- Пусть числа $x$ и $x - 20$. Уравнение суммы и разности:
\[
2x - 20 = 3 \times 20 \Rightarrow x = 40
\]
Ответ: 40 и 20.
- Название связано с восточным положением Японии. Для западных стран она — место заката. Ответ: география определяет название относительно наблюдателя.
Материалы школы Юайти