ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2019 год

ФМШ МИЭМ

2019 год

Вариант ФМШ 2019-10-2

1. Вычислите сумму ряда: \[ 6 + 15 + 24 + \dots + (n - 24) + (n - 15) + (n - 6) \quad \text{(Идея задачи: Николай Дмитриев, 8 класс, Москва).} \]
   
   
2. Что такое многоугольник? Может ли многоугольник иметь бесконечное количество сторон? Если да, то будет ли в этом случае конечной или бесконечной сумма длин всех его сторон? Если нет, то может ли тем не менее сумма длин всех сторон многоугольника быть бесконечной? Ответы обосновать.
   
   
3. Хомячок с 0 часов ночи до 6 часов утра бегает в колесе диаметром 18 см. Сделав пробежку продолжительностью 2–3 минуты, он отдыхает. Затем снова бежит и опять отдыхает. Время отдыха в 2–4 раза меньше времени только что сделанной пробежки. За одну пробежку колесо делает 100–120 полных оборотов, а каждые 3 км пробега хомячка дают 1 Вт·ч энергии. На сколько процентов за ночь хомячок сможет зарядить мобильный телефон, который полностью заряжается зарядным устройством с напряжением 5 В и средним током 1 А в течение 3 часов \[ \bigl(A = I \cdot U \cdot t\bigr). \]
   
   
4. Часть графика линейной функции \[ y = kx + b \] вместе с осями координат образует треугольник. После увеличения в 2 раза модуля \(b\) площадь треугольника уменьшилась. В каких пределах могло измениться значение \(k\)?
   
   
5. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, модули координат которых отличаются на величину, лежащую между числом, кратным 9, и ближайшим к нему большим числом, кратным 3.
   
   
6. Каждое новое значение времени (кроме первого и второго), выводимое электронными часами в формате ЧЧ:ММ (2 разряда для часов и 2 разряда для минут: от 00:00 до 23:59), отличается от предыдущего в 6 раз больше, чем предыдущий от предпредыдущего. Может ли возникнуть ситуация, когда стрелки обычных часов, показывающих ту же последовательность значений времени, вновь окажутся в некотором положении, которое занимали ранее? Если да, то найдите все случаи, в которых такое может случиться.
   
   
7. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \displaystyle \sqrt{\frac{(x^4 - 1)\,(5 - x)^2}{(x^2 - 6x + 5)\,(1 - x)}} \;+\; \frac{(x + 2)\,(2x - 1)}{x\,(6 - x)} \;>\;0, \\[1em] \displaystyle \bigl(7 - 6x - x^6\bigr)\,\sqrt{x + 1}\,(9 - 2x) \;\le\;0. \end{cases} \]

Решения задач

1. Вычислите сумму ряда: \[ 6 + 15 + 24 + \dots + (n - 24) + (n - 15) + (n - 6) \] Решение: Заметим, что ряд представляет собой симметричную арифметическую прогрессию с разностью $d = 9$. Первый член $a_1 = 6$, последний член $a_m = n - 6$. Найдём количество членов: \[ a_m = a_1 + (m-1)d \quad \Rightarrow \quad n - 6 = 6 + 9(m-1) \quad \Rightarrow \quad m = \frac{n - 12}{9} \] Сумма прогрессии: \[ S = \frac{m}{2} \cdot (a_1 + a_m) = \frac{n - 12}{18} \cdot (6 + n - 6) = \frac{n(n - 12)}{18} \] Ответ: $\frac{n(n - 12)}{18}$.
   
   
2. Что такое многоугольник? Может ли многоугольник иметь бесконечное количество сторон? Если да, то будет ли в этом случае конечной или бесконечной сумма длин всех его сторон? Если нет, то может ли тем не менее сумма длин всех сторон многоугольника быть бесконечной? Ответы обосновать.
   Решение:
   • Многоугольник — замкнутая ломаная без самопересечений с конечным числом звеньев.
   • Нет, не может иметь бесконечное количество сторон по определению.
   • Сумма длин сторон конечна, так как число сторон конечно.
   • Нет, сумма длин сторон всегда конечна при конечном числе сторон.
   Ответ: Многоугольник имеет конечное число сторон, сумма длин сторон всегда конечна.
   
   
3. Хомячок с 0 часов ночи до 6 часов утра бегает в колесе диаметром 18 см. Сделав пробежку продолжительностью 2–3 минуты, он отдыхает. Затем снова бежит и опять отдыхает. Время отдыха в 2–4 раза меньше времени только что сделанной пробежки. За одну пробежку колесо делает 100–120 полных оборотов, а каждые 3 км пробега хомячка дают 1 Вт·ч энергии. На сколько процентов за ночь хомячок сможет зарядить мобильный телефон, который полностью заряжается зарядным устройством с напряжением 5 В и средним током 1 А в течение 3 часов \[ \bigl(A = I \cdot U \cdot t\bigr). \] Решение:
   • Длина окружности колеса: $L = \pi \cdot 0.18 \approx 0.565$ м.
   • Пробег за одну пробежку: $100 \cdot 0.565 \div 120 \cdot 0.565 \approx 56.5 \div 67.8$ м.
   • Время цикла (пробежка + отдых): от $2 + 0.5 = 2.5$ мин до $3 + 0.75 = 3.75$ мин.
   • Количество циклов за 6 часов: от $\frac{360}{3.75} \approx 96$ до $\frac{360}{2.5} = 144$.
   • Общий пробег: от $96 \cdot 56.5 \approx 5424$ м до $144 \cdot 67.8 \approx 9763$ м ($5.424 \div 9.763$ км).
   • Энергия: от $\frac{5.424}{3} \approx 1.808$ Вт·ч до $\frac{9.763}{3} \approx 3.254$ Вт·ч.
   • Полная ёмкость телефона: $5 \cdot 1 \cdot 3 = 15$ Вт·ч.
   • Процент заряда: от $\frac{1.808}{15} \cdot 100 \approx 12.05\%$ до $\frac{3.254}{15} \cdot 100 \approx 21.7\%$.
   Ответ: от 12% до 22\%.
   
   
4. Часть графика линейной функции \[ y = kx + b \] вместе с осями координат образует треугольник. После увеличения в 2 раза модуля \(b\) площадь треугольника уменьшилась. В каких пределах могло измениться значение \(k\)?
   Решение:
   • Исходная площадь: $S_1 = \frac{b^2}{2|k|}$.
   • Новая площадь: $S_2 = \frac{(2b)^2}{2|k|} = \frac{4b^2}{2|k|} = \frac{2b^2}{|k|}$.
   • Условие $S_2 < S_1$: $\frac{2b^2}{|k|} < \frac{b^2}{2|k|} \quad \Rightarrow \quad 4 < 1$, что невозможно.
   Ответ: Нет решений, так как площадь не может уменьшиться при увеличении $|b|$.
   
   
5. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, модули координат которых отличаются на величину, лежащую между числом, кратным 9, и ближайшим к нему большим числом, кратным 3.
   Решение: Условие можно записать как $9k \le ||x| - |y|| < 9k + 3$ для некоторого целого $k \ge 0$. Графически это полосы между линиями $|x| - |y| = 9k$ и $|x| - |y| = 9k + 3$, симметричные относительно осей и диагоналей. Например:
   • При $k=0$: $0 \le ||x| - |y|| < 3$ — область между линиями $|x| = |y| \pm 3$.
   • При $k=1$: $9 \le ||x| - |y|| < 12$ — полосы вне $|x| - |y| = \pm 9$ до $\pm 12$.
   Ответ: Объединение полос между $|x| - |y| = 9k$ и $|x| - |y| = 9k + 3$ для всех целых $k \ge 0$.
   
   
6. Каждое новое значение времени (кроме первого и второго), выводимое электронными часами в формате ЧЧ:ММ (2 разряда для часов и 2 разряда для минут: от 00:00 до 23:59), отличается от предыдущего в 6 раз больше, чем предыдущий от предпредыдущего. Может ли возникнуть ситуация, когда стрелки обычных часов, показывающих ту же последовательность значений времени, вновь окажутся в некотором положении, которое занимали ранее? Если да, то найдите все случаи, в которых такое может случиться.
   Решение: Последовательность образует геометрическую прогрессию с множителем 6. Например, начав с $t_1 = 00:00$, $t_2 = 00:01$, $t_3 = 00:07$, $t_4 = 00:43$, $t_5 = 04:19$, $t_6 = 25:59$ (выход за пределы). Стрелки совпадают через периоды, кратные 12 часам. Однако из-за экспоненциального роста интервалов последовательность не может замкнуться в пределах 24 часов. Ответ: Нет, такая ситуация невозможна.
   
   
7. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \displaystyle \sqrt{\frac{(x^4 - 1)\,(5 - x)^2}{(x^2 - 6x + 5)\,(1 - x)}} \;+\; \frac{(x + 2)\,(2x - 1)}{x\,(6 - x)} \;>\;0, \\[1em] \displaystyle \bigl(7 - 6x - x^6\bigr)\,\sqrt{x + 1}\,(9 - 2x) \;\le\;0. \end{cases} \] Решение:
   • ОДЗ первого неравенства: $x \in [-1, 1) \cup (1, 5)$, $x \neq 0$.
   • Второе неравенство выполняется при $x \in [1, 4.5]$.
   • Пересечение: $x \in (1, 4.5]$. На этом интервале оба слагаемых первого неравенства положительны.
   Ответ: $x \in (1, 4.5]$.