ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2018 год вариант ФМШ 2018-II-10-1

ФМШ МИЭМ

2018 год

Вариант ФМШ 2018-II-10-1

1. Решите уравнение \[ x^n = n, \] если \(n\) может принимать любое целое значение.
   
   
2. Что имеется в виду, когда говорят, что мы можем сравнить два математических объекта? Можно ли сравнивать векторы? Можно ли сравнить вектор с каким-либо другим объектом? Ответы обосновать.
   
   
3. Вася бежит в школу в 2 раза быстрее Светы. Но если он по пути встретит Петю, то вместе они пойдут в 4 раза медленнее бегущей Светы. Расстояние от дома Васи до школы в 2 раза меньше, чем от дома Светы до школы. Какое время Света могла находиться в пути, если Вася встретил Петю на второй четверти своего пути, и при этом он выбежал из дома на 5 минут позже Светы, а подошёл к школе вместе с Петей на 10 минут позже неё?
   
   
4. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, модули координат которых отличаются не более, чем на меньший из их модулей.
   
   
5. 1. Могут ли три последовательных члена геометрической прогрессии одновременно быть последовательными членами какой-либо арифметической прогрессии?
   2. Какому условию должна удовлетворять арифметическая прогрессия, чтобы её первый, второй и два каких-либо других члена в указанном порядке были бы последовательными членами некоторой геометрической прогрессии?
   
   
   
6. К окружности с внешней стороны приписаны шесть одинаковых фрагментов графика функции \[ y = x^2,\quad x \in [-2,2], \] так, что точка окончания одного фрагмента совпадает с точкой начала следующего, а сами точки начала и окончания лежат на окружности. Во сколько раз площадь фигуры, ограниченной многоугольником, полученным соединением вершин всех соседних фрагментов, больше площади круга, границей которого является исходная окружность?
   
   
7. Сколько существует натуральных чисел, не превышающих 10000, которые делятся либо на 70, либо на 102, но не делятся ни на 15, ни на 119? Ответ обосновать.

Решения задач

1. Решите уравнение \(x^n = n\), если \(n\) может принимать любое целое значение.
   Решение: Рассмотрим возможные значения \(n\):
   • \(n = 0\): Уравнение \(x^0 = 0\) не имеет решений, так как \(x^0 = 1\) при \(x \neq 0\), а \(0^0\) не определено.
   • \(n = 1\): Уравнение \(x^1 = 1\) имеет решение \(x = 1\).
   • \(n = -1\): Уравнение \(x^{-1} = -1\) эквивалентно \(x = -1\).
   • \(n \geq 2\): Уравнение \(x^n = n\) имеет корни \(x = \sqrt[n]{n}\) и \(x = -\sqrt[n]{n}\) (для чётных \(n\)), но эти корни не являются целыми числами.
   • \(n \leq -2\): Уравнение \(x^n = n\) не имеет действительных решений, так как \(x^n\) положительно при любом \(x \neq 0\).
   Ответ: Уравнение имеет решения только при \(n = 1\) (\(x = 1\)) и \(n = -1\) (\(x = -1\)).
   
   
2. Что имеется в виду, когда говорят, что мы можем сравнить два математических объекта? Можно ли сравнивать векторы? Можно ли сравнить вектор с каким-либо другим объектом? Ответы обосновать.
   Решение:
   • Сравнение объектов подразумевает установление отношения порядка (больше/меньше) или равенства.
   • Векторы нельзя сравнивать на больше/меньше, так как для них не существует естественного порядка. Можно сравнивать только на равенство.
   • Вектор можно сравнивать с другим объектом (например, скаляром), только если определено соответствующее отношение сравнения, что в общем случае не предусмотрено.
   Ответ: Векторы сравниваются только на равенство. Сравнение вектора с другим объектом возможно при специально заданном отношении.
   
   
3. Вася бежит в школу в 2 раза быстрее Светы. Но если он по пути встретит Петю, то вместе они пойдут в 4 раза медленнее бегущей Светы. Расстояние от дома Васи до школы в 2 раза меньше, чем от дома Светы до школы. Какое время Света могла находиться в пути, если Вася встретил Петю на второй четверти своего пути, и при этом он выбежал из дома на 5 минут позже Светы, а подошёл к школе вместе с Петей на 10 минут позже неё?
   Решение:
   • Пусть \(v_S\) — скорость Светы, тогда скорость Васи \(v_V = 2v_S\), а скорость Васи и Пети \(v_{V+P} = \frac{v_S}{4}\).
   • Расстояние до школы: \(S_S = v_S t_S\), \(S_V = \frac{S_S}{2}\).
   • Время Васи до встречи с Петей: \(\frac{S_V}{4} / v_V = \frac{t_S}{16}\).
   • Оставшийся путь: \(\frac{3S_V}{4} / v_{V+P} = \frac{3t_S}{2}\).
   • Общее время Васи: \(\frac{t_S}{16} + \frac{3t_S}{2} = t_S + 0.25\) (15 минут разницы).
   • Решение уравнения: \(t_S = \frac{4}{9}\) часа (\(\approx 26\) минут 40 секунд).
   Ответ: \(\frac{4}{9}\) часа.
   
   
4. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, модули координат которых отличаются не более, чем на меньший из их модулей.
   Решение: Условие \(| |x| - |y| | \leq \min(|x|, |y|)\). В первом квадранте это область между прямыми \(y = \frac{x}{2}\) и \(y = 2x\). Аналогично для других квадрантов. Фигура симметрична относительно осей и образует восьмиугольник.
   Ответ: Множество точек, ограниченное прямыми \(y = 2x\), \(y = \frac{x}{2}\), \(x = 2y\), \(x = \frac{y}{2}\) в каждом квадранте.
   
   
5. 1. Могут ли три последовательных члена геометрической прогрессии одновременно быть последовательными членами какой-либо арифметической прогрессии?
      Решение: Пусть \(a, aq, aq^2\) — члены ГП. Для АП: \(aq - a = aq^2 - aq \Rightarrow q = 1\). Только при \(q = 1\) (постоянная последовательность).
      Ответ: Да, если ГП является постоянной.
      
      
   2. Какому условию должна удовлетворять арифметическая прогрессия, чтобы её первый, второй и два каких-либо других члена в указанном порядке были бы последовательными членами некоторой геометрической прогрессии?
      Решение: Пусть АП: \(a, a + d, a + 2d, \ldots\). Для ГП: \((a + d)^2 = a(a + kd)\). Решение: \(d = a(k - 2)\), где \(k\) — натуральное число.
      Ответ: Разность АП должна быть \(d = a(k - 2)\).
   
   
   
6. К окружности с внешней стороны приписаны шесть одинаковых фрагментов графика функции \(y = x^2\), так, что точки начала и окончания фрагментов лежат на окружности. Во сколько раз площадь фигуры, ограниченной многоугольником, полученным соединением вершин всех соседних фрагментов, больше площади круга?
   Решение: Радиус окружности \(R = 2\sqrt{5}\). Площадь круга \(20\pi\). Многоугольник — правильный шестиугольник с площадью \(\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2\). Отношение: \(\frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \approx 0.826\). Уточнение: с учётом фрагментов параболы площадь увеличивается, но точный расчёт требует интегралов.
   Ответ: Отношение площади многоугольника к площади круга равно \(\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}\).
   
   
7. Сколько существует натуральных чисел, не превышающих 10000, которые делятся либо на 70, либо на 102, но не делятся ни на 15, ни на 119?
   Решение: Применяем принцип включения-исключения:
   • Числа на 70: \(\left\lfloor \frac{10000}{70} \right\rfloor = 142\).
   • Числа на 102: \(\left\lfloor \frac{10000}{102} \right\rfloor = 98\).
   • Числа на НОК(70, 102) = 3570: \(\left\lfloor \frac{10000}{3570} \right\rfloor = 2\).
   • Исключаем числа на 15 и 119:
     • На 15: \(\left\lfloor \frac{10000}{210} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{10000}{510} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{10000}{3570} \right\rfloor = 47 + 19 - 2 = 64\).
     • На 119: \(\left\lfloor \frac{10000}{1190} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{10000}{714} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{10000}{3570} \right\rfloor = 8 + 14 - 2 = 20\).
   • Итог: \(142 + 98 - 2 - 64 - 20 + 2 = 156\).
   Ответ: 156 чисел.