8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2017 год вариант ФМШ 2017-III-10-2

Сложность:
Дата экзамена: 2017
СкачатьПечать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2017 год


Вариант ФМШ 2017-III-10-2



  1. Решите неравенство: \[ f\bigl(|x|\cdot g(|x|)\bigr)\;\ge\;f\bigl(|x|-x\bigr), \] если \[ f(x)=1+x,\quad g(x)=\frac{1}{1-x}. \]
  2. Что такое вершина геометрической фигуры? Любая ли геометрическая фигура имеет вершины? Если нет, то при каких условиях геометрическая фигура будет иметь вершины? Может ли геометрическая фигура иметь только одну вершину? Ответы обосновать.
  3. Имеются два канализационных люка: первый — с круглым отверстием, а второй — с квадратным, причём площадь первого отверстия в \(1{,}5\) раза больше второго. Данные люки необходимо закрыть квадратными крышками, которые полностью закрывали бы отверстия люков, и при этом ни под каким углом не проваливались бы в люк. При условии, что обе крышки будут иметь минимально возможные размеры, на изготовление какой из них потребуется больше чугуна и во сколько раз? (Автор задачи: Никита Дик, 9 класс, Москва)
  4. Решите уравнение: \[ \frac{x+y}{xy} \;+\; 2\cdot\frac{xy}{x+y} \;-\; 3 = 0. \]
  5. В квадрат со стороной \(a\) вписан другой квадрат таким образом, что его вершины лежат на сторонах исходного квадрата и делят их в отношении \(1:4\). Во второй квадрат также вписан квадрат, вершины которого лежат на сторонах второго квадрата и делят их в отношении \(1:4\), и т.д. Найдите сумму площадей всех квадратов, полученных таким образом, начиная с исходного.
  6. Точки \(A\) и \(B\) движутся по координатной плоскости с одинаковыми скоростями вдоль оси \(x\). Точка \(A\) движется по прямой \[ y = \frac{x}{2} - 3, \] начиная от точки с абсциссой \(-2\), а точка \(B\) — по параболе \[ y = -x^2 + 3x - 4, \] начиная от точки с абсциссой \(-4\). Окажутся ли когда-либо точки \(A\) и \(B\) одновременно в одной и той же точке? Если да, то через сколько единиц времени после начала движения это произойдёт? Если нет, то на каком минимальном расстоянии они смогут находиться друг от друга?
  7. Два натуральных числа в сумме дают 161. Может ли число 161 быть делителем произведения этих натуральных чисел? Ответ обосновать.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите неравенство: \[ f\bigl(|x|\cdot g(|x|\bigr)\;\ge\;f\bigl(|x|-x\bigr), \] если \[ f(x)=1+x,\quad g(x)=\frac{1}{1-x}. \] Решение: Подставим функции в неравенство: \[ 1 + |x| \cdot \frac{1}{1 - |x|} \ge 1 + (|x| - x). \] Упростим: \[ \frac{|x|}{1 - |x|} \ge |x| - x. \] Рассмотрим случаи:
    • При \(x \ge 0\): \(|x| = x\), \[ \frac{x}{1 - x} \ge 0. \] Решение: \(-1 < x < 1\). Учитывая \(x \ge 0\), получаем \(0 \le x < 1\).
    • При \(x < 0\): \(|x| = -x\), \[ \frac{-x}{1 + x} \ge -2x \implies \frac{-x}{1 + x} +2x \ge 0 \implies \frac{-x +2x(1 + x)}{1 + x} \ge 0 \implies \frac{2x^2 +x}{1 + x} \ge 0. \] Решаем методом интервалов для \(x < 0\):
      • \(2x^2 +x \ge 0 \implies x(2x +1) \ge 0 \implies x \le -\frac{1}{2}\) или \(x \ge 0\).
      • Знаменатель: \(1 + x > 0 \implies x > -1\).
      • Объединяя условия: \(-1 < x \le -\frac{1}{2}\).
    Итоговое решение: \[x \in (-1; -\frac{1}{2}] \cup [0; 1).\] Ответ: \(x \in (-1; -\frac{1}{2}] \cup [0; 1)\).

  2. Что такое вершина геометрической фигуры? Любая ли геометрическая фигура имеет вершины? Ответы обосновать. Решение:
    • Вершина — точка соединения двух или более сторон (ребер) фигуры.
    • Не все фигуры имеют вершины. Например, окружность, шар или кривая без углов не имеют вершин.
    • Одна вершина возможна только для незамкнутых фигур (например, луч в точке начала), но строго замкнутая фигура требует минимум трех вершин (треугольник).
    • Ответ: Вершина — точка соединения ребер. Не все фигуры имеют вершины (окружность). Замкнутая фигура с вершинами имеет минимум 3 вершины (например, треугольник).



  3. Имеются два канализационных люка: первый — круглый, второй — квадратный. Площадь круглого в 1,5 раза больше. При минимально возможных крышках, какая потребует больше материала? Решение:
    • Пусть площадь квадратного люка \(S\). Тогда круглый люк имеет площадь \(1{,}5S\).
    • Для квадратного: сторона крышки \(a = \sqrt{S}\), площадь \(S\).
    • Для круглого: радиус \(R = \sqrt{\frac{1{,}5S}{\pi}}\). Чтобы крышка не провалилась, её диаметр должен быть равен диагонали квадратного люка (если исходно квадратный). Но здесь люк квадратный, а отверстие круглое: минимальная квадратная крышка для круга — квадрат со стороной, равной диаметру круга: \[ D = 2\sqrt{\frac{1{,}5S}{\pi}} \implies \text{площадь крышки: } D^2 = \frac{6S}{\pi} \approx 1{,}91S. \]
    • Отношение площадей крышек: \(\frac{6/\pi}{1} \approx 1{,}91\). Ответ: Круглый люк требует больше материала примерно в 1,91 раза.


  4. Решите уравнение: \[ \frac{x+y}{xy} + 2\cdot\frac{xy}{x+y} - 3 = 0. \] Решение: Введем замену \(a = x + y\), \(b = xy\): \[ \frac{a}{b} + \frac{2b}{a} = 3 \implies a^2 + 2b^2 = 3ab \implies (a - b)(a - 2b) = 0. \]
    • Случай 1: \(a = b \implies x + y = xy \implies (x -1)(y -1) = 1\). Решение: \(x = 1 + \frac{1}{y -1}\) при \(y \neq1\).
    • Случай 2: \(a = 2b \implies x + y = 2xy \implies (2x-1)(2y-1) =1\). Решение: \(x = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2y -1}\right)\).
    Ответ: Все решения удовлетворяют \((x-1)(y-1)=1\) или \((2x-1)(2y-1)=1\).

  5. Найдите сумму площадей всех квадратов, вписанных в исходный квадрат со стороной \(a\) с делением сторон в соотношении \(1:4\). Решение:
    • Координаты вершин второго квадрата: деление сторон в \(1:4\) даёт отрезки \(\frac{a}{5}\) и \(\frac{4a}{5}\).
    • Сторона второго квадрата: \(\sqrt{\left(\frac{4a}{5}\right)^2 + \left(\frac{a}{5}\right)^2} = \frac{a\sqrt{17}}{5}\).
    • Площадь: \(\frac{17a^2}{25}\).
    • Каждый последующий квадрат уменьшает площадь в \(\frac{17}{25}\) раза.
    • Сумма площадей: \[ a^2 \left(1 + \frac{17}{25} + \left(\frac{17}{25}\right)^2 + \dots \right) = \frac{a^2}{1 - \frac{17}{25}} = \frac{25a^2}{8}. \] Ответ: \(\frac{25a^2}{8}\).


  6. Движение точек \(A\) и \(B\):
    • Точка \(A\): \(x_A = -2 + vt\), \(y_A = \frac{x_A}{2} -3\).
    • Точка \(B\): \(x_B = -4 + vt\), \(y_B = -x_B^2 +3x_B -4\).
    • Приравниваем координаты: \(x_A = x_B \implies -2 + vt = -4 + vt \implies\) решений нет.
    • Минимальное расстояние: минимизируем \(\sqrt{(x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2}\). Упростим: \[ \sqrt{4 + \left(\frac{x_A - 3}{2} + x_A^2 - 3x_A +4\right)^2}. \] Минимум достигается при \(x_A \approx -0{,}6\), расстояние \(\approx 2{,}08\). Ответ: Не встречаются. Минимальное расстояние \(\approx 2{,}08\).


  7. Два натуральных числа в сумме 161. Может ли 161 делиться на их произведение? Решение:
    • Пусть числа \(a\) и \(161 -a\). Тогда \(a(161 -a) \equiv 0 \mod 161\).
    • 161 = 7∙23. Для делимости \(a\) или \(161 -a\) должны делиться на 7 и 23 одновременно.
    • Если \(a = 161k\), то \(161 -a = 0\) (не натуральное). Противоречие. Ответ: Нет, 161 не делится на произведение таких чисел.
Материалы школы Юайти