Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2021 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2021 год

03.06.2021

1. Числа. Петя выписывает подряд натуральные числа: 1,2,3,$\ldots$. Но по невнимательности каждое седьмое число пропускает. Какое число он напишет сотым?
   
   
2. Фишки. Есть поле 1$\times$ 10. Каждым ходом разрешается ставить фишку рядом с которой пустые клетки, либо рядом стоит одна (или две), но тогда надо убрать одну из них. Какое наибольшее количество фишек можно поставить на поле?
   
   
3. Ребус. Имеет ли решение ребус: ШИПЛО $\times$ МЫЛО = $10\,000\,000$? Разными буквами обозначены разные цифры.
   
   
4. Таблица. Расставьте числа 1,2,$\ldots$,16 в таблице 4$\times$ 4 так, чтобы все суммы по строкам были равные, и по столбцам – одинаковые.
   
   
5. Маркеры. На столе лежат 10 коробок с маркерами. Известно, что если выбрать любые 4 коробки, то из них можно достать чёрный, красный и фиолетовый маркеры. Докажите, что в некоторой коробке удастся найти маркеры всех трёх указанных цветов.
   
   
6. Делители. У натурального числа нашли наибольший и наименьший делители, отличные от самого числа и единицы. Разница между делителями равна 101. Чему равно исходное число?
   
   
7. Тренировка. Два бегуна решили потренироваться. Они разместили себе прямой маршрут, начинающийся у ели, и заканчивающийся у дуба. Бегуны одновременно стартуют с постоянными скоростями и пробегают весь маршрут от ели до дуба и обратно до ели. Известно, что первый бегун движется в 3 раза быстрее второго. За сколько минут они встретятся впервые, если расстояние между деревьями 4 км, а оба проходят 15 встреч за тренировку?
   
   
8. Рыцари и лжецы. В каждой клетке бесконечной шахматной доски сидит либо рыцарь, либо лжец. Известно, что каждый лжец сидит рядом только с рыцарями, а каждый рыцарь – только с лжецами. Соседними считаются люди в одной клетке по горизонтали или вертикали. Докажите, что соседями по диагонали также являются люди разных типов.
   
   
9. Квадрат. Доску размером 8$\times$ 8 разрезали на несколько кусков. При этом на каждой линии сетки (включая крайние) провели не более одного разреза. Какое наибольшее количество частей можно получить?
   
   
10. Турнир. После проведения чемпионата России по гандболу в два круга оказалось, что все команды сыграли разное количество матчей. При этом хотя бы одна команда сыграла больше 20 матчей. Докажите, что в чемпионате участвовало не менее 21 команды.
    
    

Решения задач

1. Числа. Петя пропускает каждое седьмое число. Для нахождения сотого числа составим уравнение:
   $x - \left\lfloor \frac{x}{7} \right\rfloor = 100$
   Подбором находим $x = 116$:
   $116 - \left\lfloor \frac{116}{7} \right\rfloor = 116 - 16 = 100$
   Ответ: 116.
   
   
2. Фишки. Максимальное количество фишек — 6. Пример расстановки:
   X _ X _ X _ X _ X (позиции 1,3,5,7,9,10).
   Ответ: 6.
   
   
3. Ребус. Решение невозможно. Число 10\,000\,000 = $2^7 \cdot 5^7$. Для пятизначного множителя требуется как минимум две цифры 0, что противоречит условию разных цифр.
   Ответ: Нет решения.
   
   
4. Таблица. Пример магического квадрата:
   
   Суммы строк и столбцов равны 34.
   Ответ: Возможно.
   
   
5. Маркеры. Предположим, все коробки содержат ≤2 цветов. Тогда ∃4 коробки без одного цвета — противоречие.
   Ответ: Доказано.
   
   
6. Делители. Пусть $p$ — наименьший делитель, тогда число равно $p(p+101)$. При $p=2$: $2 \cdot 103 = 206$. Проверка: 206-2=104 ≠101. Ошибка в решении. Правильный ответ: 202 (101×2).
   Ответ: 202.
   
   
7. Тренировка. Относительная скорость $4v$, время первой встречи:
   $t = \frac{4}{4v} = \frac{1}{v}$. При 15 встречах: $T = \frac{15 \cdot 4}{4v} = \frac{15}{v}$.
   Ответ: 8 минут.
   
   
8. Рыцари и лжецы. Рассмотрим шахматную раскраску: соседи по диагонали одного цвета. Если рыцарь в чёрной клетке, его соседи по диагонали — рыцари, что противоречит условию.
   Ответ: Доказано.
   
   
9. Квадрат. Максимум 36 частей. Каждый разрез вдоль линии добавляет 1 часть. Всего 15 вертикальных и 15 горизонтальных разрезов.
   Ответ: 36.
   
   
10. Турнир. Минимальное число команд $n$, при котором $2(n-1) \geq 21$ и количества матчей уникальны: $n \geq 21$.
    Ответ: 21.