Школа №1535 из 7 в 8 класс 2022 год вариант 1

ЛИЦЕЙ №1535

2022 год

1. Пример на обыкновенные и десятичные дроби.
   
   
2. Упростите: \[ \frac{81 \cdot x^{27}}{x} = 9^7 \]
   
   
3. Даны сплавы меди по $43\%$ и $17\%$. Масса второго сплава в два раза больше массы первого. Какова концентрация меди в полученном сплаве?
   
   
4. В треугольнике \( ABC \) с основанием \( BC \) проведена биссектриса \( BL \) так, что угол \( \angle ALB = 111^\circ \). Найдите угол \( \angle BAC \).
   
   
5. Решите уравнение: \[ 2x - \frac{1 - 4x}{2} = \frac{x + 3}{6} - 5 \]
   
   
6. Найдите уравнение прямой, которая пересекает ось абсцисс в точке ( $\underline{\hspace{1.5cm}}$ ) и параллельна графику функции \( y = \ldots \) (формула не указана полностью).
   
   
7. Вычислите: \[ (3 \cdot \dfrac{1}{5})^2 \cdot \left(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{5} \right)^2 \]
   
   
8. У квадрата одну из смежных сторон увеличили на 3 см, а другую уменьшили на 5 см, в результате получился прямоугольник, площадь которого на 19 больше площади квадрата. Найдите сторону квадрата.
   
   
9. Дан график функции \( y = x^3 \). Некоторая прямая пересекает этот график в точках с абсциссами \(-1\) и \(3\). Найдите точку пересечения этой прямой с осью ординат.
   
   
10. Дан треугольник \( ABC \), точки \( M \) и \( P \) лежат на катетах, а точка \( K \) лежит на гипотенузе так, что \( CK = CP \), \( AM = AK \). Найдите угол \( \angle MKP \).

Решения задач

1. Пример на обыкновенные и десятичные дроби.
   
   
2. Упростите: \[ \frac{81 \cdot x^{27}}{x} = 9^7 \] Решение: \[ \frac{81 \cdot x^{27}}{x} = 9^7 \implies 81 \cdot x^{26} = 9^7 \implies 9^2 \cdot x^{26} = 9^7 \implies x^{26} = 9^5 \implies x^{26} = (3^2)^5 \implies x^{26} = 3^{10} \implies x = 3^{\frac{5}{13}} \] Ответ: \( x = 3^{\frac{5}{13}} \).
   
   
3. Даны сплавы меди 43% и $17\%$. Масса второго сплава в два раза больше массы первого. Концентрация меди в полученном сплаве:
   Решение:
   Пусть масса первого сплава \( m \) кг. Тогда масса второго сплава \( 2m \) кг. Масса меди в первом сплаве: \( 0,43m \), во втором: \( 0,17 \cdot 2m = 0,34m \). Общая масса меди: \( 0,77m \). Общая масса сплава: \( m + 2m = 3m \). Концентрация: \[ \frac{0,77m}{3m} \cdot 100% = \frac{77}{3}% \approx 25,\!67\%. \] Ответ: \( \frac{77}{3}% \) или \( 25\frac{2}{3}% \).
   
   
4. В треугольнике \( ABC \) проведена биссектриса \( BL \), угол \( \angle ALB = 111^\circ \). Найдём угол \( \angle BAC \):
   Решение:
   В треугольнике \( ALB \): \( \angle ALB = 111^\circ \). Тогда: \[ \angle BAC + \frac{\angle ABC}{2} = 69^\circ. \] В треугольнике \( BLC \): \( \angle BLC = 69^\circ \).
   Сумма углов в \( ABC \): \[ \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ. \] Решая систему уравнений, получаем: \[ \angle BAC = 27^\circ. \] Ответ: \( 27^\circ \).
   
   
5. Решите уравнение: \[ 2x - \frac{1 - 4x}{2} = \frac{x + 3}{6} - 5 \] Решение: \[ 12x - 3(1 - 4x) = x + 3 - 30 \implies 24x -3 = x -27 \implies 23x = -24 \implies x = -\frac{24}{23}. \] Ответ: \( x = -\frac{24}{23} \).
   
   
6. Уравнение прямой, пересекающей ось абсцисс в заданной точке и параллельной графику:
   Решение требует дополнительных данных из условия (формула функции не указана).
   
   
7. Вычислите: \[ (3 \cdot \dfrac{1}{5})^2 \cdot \left(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{5} \right)^2 \] Решение: \[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{10}\right)^2 = \frac{9}{25} \cdot \frac{9}{100} = \frac{81}{2500}. \] Ответ: \( \frac{81}{2500} \).
   
   
8. Найдите сторону квадрата:
   Решение: \[ (x + 3)(x - 5) = x^2 + 19 \implies x = -17 \, \text{(нет решения, так как сторона не может быть отрицательной)}. \] Ответ: Нет решения.
   
   
9. Прямая пересекает график \( y = x^3 \) в точках \(-1\) и \(3\). Точка пересечения с осью ординат:
   Решение:
   Точки пересечения: \((-1, -1)\), \((3, 27)\). Уравнение прямой:
   Наклон \( m = 7 \), уравнение: \( y = 7x + 6 \). При \( x = 0 \), \( y = 6 \).
   Ответ: \( (0, 6) \).
   
   
10. Найдите угол \( \angle MKP \):
    Решение:
    Исходя из симметрии и условий \( CK = CP \) и \( AM = AK \), угол \( \angle MKP \) равен \( 45^\circ \).
    Ответ: \( 45^\circ \).