Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 6 в 7 класс 2025 год вариант 9

1. Вычислите: \[ \left(2 \dfrac{7}{12} + 2 \dfrac{19}{36}\right) \cdot 3 - 64{,}5 : 6 + 4 \dfrac{2}{7} \cdot 2{,}1 + 1{,}3 \cdot 4 \dfrac{1}{6} \]
2. Вычислите: \[ -| -7 | : \left| 1 \dfrac{1}{6} \right| \]
3. Найдите неизвестный член пропорции: \[ \frac{0{,}36}{x \cdot 3{,}3} = \frac{4{,}8}{0{,}44} \]
4. Скорость велосипедиста в \(2{,}5\) раза больше скорости пешехода. Через 1,5 часа после того, как они одновременно в одном направлении двинулись из одного пункта, расстояние между ними оказалось равным \(10{,}8\) км. Найти скорость движения велосипедиста и пешехода.
5. В первый час работы продавец продал 40 кг яблок. Это составило 16% от первоначального количества яблок. Сколько килограммов яблок было у продавца первоначально.
6. Четыре салфетки размера \(4 \times 4\) положили так, что получился квадрат \(6 \times 6\). Чему равна площадь, покрытая в четыре слоя?
7. Пять друзей выстроились в ряд по росту. Известно, что Андрей ниже Димы, но выше Володи. Боря и Володя не стоят рядом. Гриша не стоит рядом ни с Володей, ни с Андреем, ни с Борей. Кто стоит посредине?
8. В комнате 10 человек, каждый из которых рыцарь или лжец. Рыцарь всегда говорит правду, а лжец — всегда лжет. Более половины из этих людей сказали следующее: «Среди нас рыцарей менее трети». Сколько в комнате рыцарей?

Решения задач

1. Вычислите: \[ \left(2 \dfrac{7}{12} + 2 \dfrac{19}{36}\right) \cdot 3 - 64{,}5 : 6 + 4 \dfrac{2}{7} \cdot 2{,}1 + 1{,}3 \cdot 4 \dfrac{1}{6} \] Решение: $$\begin{aligned} & \left(\frac{31}{12} + \frac{91}{36}\right) \cdot 3 - \frac{64{,}5}{6} + \frac{30}{7} \cdot \frac{21}{10} + \frac{13}{10} \cdot \frac{25}{6} \\ &= \left(\frac{93}{36} + \frac{91}{36}\right) \cdot 3 - 10{,}75 + \frac{630}{70} + \frac{325}{60} \\ &= \frac{184}{36} \cdot 3 - 10{,}75 + 9 + \frac{65}{12} \\ &= \frac{184}{12} - 10{,}75 + 9 + 5{,}4167 \\ &= 15{,}3333 - 10{,}75 + 9 + 5{,}4167 \\ &= 19{,}0 \end{aligned}$$ Ответ: 19.
2. Вычислите: \[ -| -7 | : \left| 1 \dfrac{1}{6} \right| \] Решение: \[ -7 : \frac{7}{6} = -7 \cdot \frac{6}{7} = -6 \] Ответ: -6.
3. Найдите неизвестный член пропорции: \[ \frac{0{,}36}{x \cdot 3{,}3} = \frac{4{,}8}{0{,}44} \] Решение: \[ 0{,}36 \cdot 0{,}44 = 4{,}8 \cdot 3{,}3 \cdot x \]
   \[ x = \frac{0{,}36 \cdot 0{,}44}{4{,}8 \cdot 3{,}3} = \frac{0{,}1584}{15{,}84} = 0{,}01 \] Ответ: 0,01.
4. Задача. Скорость велосипедиста в \(2{,}5\) раза больше скорости пешехода. Через \(1{,}5\) часа после того, как они одновременно в одном направлении двинулись из одного пункта, расстояние между ними оказалось равным \(10{,}8\) км. Найти скорости движения велосипедиста и пешехода.
   Идея решения. Обозначим скорость пешехода буквой \(v\). Тогда скорость велосипедиста в \(2{,}5\) раза больше, то есть \(2{,}5v\). За одно и то же время расстояние между ними растёт с их разностью скоростей.
   Решение.
   1. Разность скоростей: \[ 2{,}5v - v = 1{,}5v. \] 2. За \(1{,}5\) часа расстояние между ними равно \[ 1{,}5v \cdot 1{,}5 = 2{,}25v. \] По условию это \(10{,}8\) км, значит \[ 2{,}25v = 10{,}8. \] 3. Находим скорость пешехода: \[ v = \frac{10{,}8}{2{,}25} = 4{,}8. \] 4. Скорость велосипедиста: \[ 2{,}5 \cdot 4{,}8 = 12. \] Ответ. Скорость пешехода равна \(4{,}8\) км/ч, скорость велосипедиста равна \(12\) км/ч.
5. Задача. В первый час работы продавец продал \(40\) кг яблок. Это составило \(16\%\) от первоначального количества яблок. Сколько килограммов яблок было у продавца первоначально?
   Идея решения. \(40\) кг это \(16\%\) от всего запаса. Значит, нужно найти число, от которого \(16\%\) составляют \(40\).
   Решение.
   1. Пусть первоначально было \(x\) кг яблок. Тогда \[ 0{,}16x = 40. \] 2. Находим \(x\): \[ x = \frac{40}{0{,}16} = \frac{40 \cdot 100}{16} = \frac{4000}{16} = 250. \] Ответ. Первоначально у продавца было \(250\) кг яблок.
6. Задача. Четыре салфетки размера \(4 \times 4\) положили так, что получился квадрат \(6 \times 6\). Чему равна площадь, покрытая в четыре слоя?
   Идея решения. Посчитаем общую площадь всех слоёв и сравним её с площадью получившегося квадрата. В центре конфигурации получается маленький квадрат, где лежат сразу четыре салфетки.
   Решение.
   1. Площадь одной салфетки: \[ 4 \times 4 = 16. \] Четыре салфетки вместе дают «по слоям» \[ 4 \cdot 16 = 64 \] квадратных единиц. 2. Получился квадрат \(6 \times 6\). Его видимая площадь (если не считать слои) равна \[ 6 \times 6 = 36. \] 3. Чтобы из четырёх квадратов \(4 \times 4\) получить квадрат \(6 \times 6\), каждую салфетку сдвигают на две клетки вправо или вверх. В центре остаётся квадрат \(2 \times 2\), который накрывают все четыре салфетки. Значит, именно там площадь в четыре слоя. 4. Площадь этого центрального квадрата: \[ 2 \times 2 = 4. \] Ответ. Площадь, покрытая в четыре слоя, равна \(4\) квадратным единицам.
7. Задача. Пять друзей выстроились в ряд по росту от самого низкого к самому высокому. Известно, что Андрей ниже Димы, но выше Володи. Боря и Володя не стоят рядом. Гриша не стоит рядом ни с Володей, ни с Андреем, ни с Борей. Кто стоит посередине?
   Идея решения. Нужно расставить всех по местам, учитывая, кто может быть рядом с кем. Особое условие у Гриши: он не может стоять рядом сразу с тремя из друзей, значит, у него единственный допустимый сосед.
   Решение.
   1. По росту для троицы Володя, Андрей, Дима имеем \[ \text{Володя} < \text{Андрей} < \text{Дима}. \] 2. Гриша не может стоять рядом с Володей, Андреем и Борей. Значит, его единственный возможный сосед в ряду это Дима. 3. Если Гриша стоит не на краю, у него два соседа, а подходящий всего один человек Дима. Так нельзя. Поэтому Гриша должен стоять на краю ряда. 4. Если Гриша стоит первым, то вторым должен быть Дима. Но тогда и Андрей, и Володя должны быть ниже Димы, а мест ниже Димы всего одно, что невозможно. Значит, Гриша стоит последним, на пятой позиции, а Дима на четвёртой. 5. На первых трёх местах должны стоять Володя, Андрей и Боря. При этом Володя ниже Андрея, а Боря не стоит рядом с Володей. Единственный возможный порядок: \[ 1\text{-е место: Володя},\quad 2\text{-е: Андрей},\quad 3\text{-е: Боря}. \] 6. Посередине, на третьем месте, стоит Боря.
   Ответ. Посередине стоит Боря.
8. Задача. В комнате \(10\) человек, каждый из которых рыцарь или лжец. Рыцарь всегда говорит правду, а лжец всегда лжёт. Более половины из этих людей сказали: «Среди нас рыцарей менее трети». Сколько в комнате рыцарей?
   Идея решения. Сначала решим, правдива ли эта фраза. Если она правдива, её могли сказать только рыцари, если ложна только лжецы. Потом из этого найдём количество рыцарей.
   Решение.
   1. Пусть в комнате \(k\) рыцарей. Тогда лжецов \(10 - k\). 2. Фраза «рыцарей менее трети» означает \[ k < \frac{1}{3} \cdot 10 = 3\frac{1}{3}, \] то есть возможно только \(k = 0,1,2,3\). 3. Фразу произнесли более половины людей, то есть не меньше \(6\) человек. Если фраза правдивая, её говорят только рыцари. Тогда рыцарей не меньше \(6\), а по пункту 2 их не больше \(3\). Это невозможно. Значит, фраза ложная. 4. Если фраза ложная, её говорят только лжецы. Тогда рыцарей не меньше трети: \[ k \ge 4. \] 5. Людей, произнесших фразу, не меньше \(6\). Все они лжецы, поэтому \[ 10 - k \ge 6, \] откуда \[ k \le 4. \] 6. Получаем одновременно \[ k \ge 4 \quad \text{и} \quad k \le 4, \] значит \[ k = 4. \] Ответ. В комнате \(4\) рыцаря.