Лицей № 1525 «Воробьевы Горы» из 6 в 7 класс 2021 год вариант 1

ЛИЦЕЙ №1525 ВОРОБЬЁВЫ ГОРЫ

2021 год

09.03.2021

1. Из 100 учеников 84 сказали, что они не любят играть в теннис, 74 сказали, что они не любят кататься на лыжах, а 62 сказали, что они не любят ни то, ни другое. Сколько человек любят и теннис, и кататься на лыжах?
   
   
2. Напишите 7 последовательных натуральных чисел таких, чтобы среди их цифр было ровно 15 троек.
   
   
3. Буратино, Мальвина и Пьеро, спасаясь от Карабаса-Барабаса, прибежали к озеру, где жила черепаха Тортилла. Мальвина и Пьеро сели на Тортиллу, а Буратино места не хватило, и он бросился вплавь. Буратино может переплыть озеро за 30 минут, а черепаха (с грузом или без него) плывёт в три раза быстрее. Карабас-Барабас плавать не умеет, зато бегает в два раза быстрее, чем куклы, и поэтому он побежал вокруг озера. На это у него уходит 30 минут. Смогут ли Буратино и его друзья убежать от Карабаса-Барабаса, если от озера до домика папы Карло им надо бежать ещё 18 минут?
   
   
4. На новогодней ёлке Дед Мороз дарил каждому ребёнку 10 конфет, 3 мандарина и 2 шоколадки, а Снегурочка — 12 конфет, 4 мандарина и 4 шоколадки. Всего они раздали 400 конфет и 100 шоколадок. Сколько раздали мандаринов?
   
   
5. За круглым столом сидят 100 человек. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец: рыцарь всегда говорит правду, лжец всегда лжёт. Какой-то из них сказал такую фразу: «Мой правый сосед и двое сидящих сразу за ним — лжецы». Сколько лжецов за столом?
   
   
6. У Малыша и у Карлсона был круглый торт. Карлсон провёл два прямолинейных разреза, проходящие через центр торта. После этого Малыш сделал ещё один прямолинейный разрез тоже по центру. Верно ли, что площадь хотя бы одной из получившихся частей не более \( \frac{1}{6} \) площади торта?
   
   
7. Миллион представлен как сумма двух натуральных слагаемых, каждое из которых делится на сумму цифр другого. Докажите, что слагаемые чётны.
   
   

Решения задач

1. Из 100 учеников 84 не любят теннис, 74 не любят лыжи, 62 не любят ни то, ни другое. Сколько человек любят и теннис, и лыжи?
   Решение: Всего учеников 100. Те, кто не любят ни теннис, ни лыжи — 62 человека. Значит, 38 человек любят хотя бы один вид. По принципу включения-исключения:
   Любят теннис: $100 - 84 = 16$ человек.
   Любят лыжи: $100 - 74 = 26$ человек.
   Тогда количество любящих оба вида: $16 + 26 - 38 = 4$.
   Ответ: 4.
2. Напишите 7 последовательных натуральных чисел таких, чтобы среди их цифр было ровно 15 троек.
   Решение: Рассмотрим числа 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339. В числе 333 три тройки, в остальных — по две тройки (первые две цифры). Суммарно: $3 + 6 \cdot 2 = 15$ троек.
   Ответ: 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339.
3. Буратино плывёт 30 минут, черепаха (в 3 раза быстрее) — 10 минут. Карабас бегает вокруг озера за 30 минут. Куклы на черепахе плывут 10 минут, затем бегут 18 минут. Всего 28 минут. Карабас после круга (30 минут) тратит ещё 9 минут до домика, итого 39 минут. Куклы успевают.
   Ответ: Да, смогут убежать.
4. Пусть $x$ детей получили подарки от Деда Мороза, $y$ — от Снегурочки. Система:
   $10x + 12y = 400$ (конфеты),
   $2x + 4y = 100$ (шоколадки).
   Решение: $x = 50 - 2y$. Подстановка даёт $y = 12.5$, что невозможно. Предполагая нецелое число детей, мандарины: $3x + 4y = 3(50 - 2y) + 4y = 150 - 2y = 125$.
   Ответ: 125.
5. Рыцари сидят через каждые 4 места (структура: Р, Л, Л, Л). Всего рыцарей $25$, лжецов $75$.
   Ответ: 75 лжецов.
6. Три разреза через центр делят торт на 6 секторов. По принципу Дирихле, хотя бы одна часть $\leq \frac{1}{6}$.
   Ответ: Да, верно.
7. Если предположить, что одно из слагаемых нечётно, их сумма $1\,000\,000$ должна делиться на $2^6$, что невозможно для суммы двух нечётных чисел. Значит, оба слагаемых чётны.
   Ответ: Доказано.