Юайти ✕ Школа №57 из 7 в 8 класс 2026 год | Вариант 2

Школа №57

Пробный вариант Юайти 1 (переход 7$\to$8 класс)

Математика

2026 год

1. Для нумерации страниц книги потребовалось 1893 цифры. Сколько страниц в книге?
2. Колонна спортсменов длиной 90 м бежит со скоростью 18 км/ч. Навстречу колонне бежит тренер со скоростью 12 км/ч. Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, сразу разворачивается и бежит назад с прежней скоростью. Какой путь пробежит самый первый спортсмен к моменту, когда развернётся последний?
3. В квадрате $ABCD$ со стороной 10 на стороне $AB$ отмечена точка $M$, а на стороне $BC$ — точка $N$, причём $AM = BN$. Докажите, что площадь треугольника $DMN$ не меньше $37{,}5$. В каком случае достигается равенство?
4. 100 попугаев по очереди сделали заявления. Первый мог сказать что угодно. Каждый следующий говорил: «Среди уже сделанных заявлений ложных больше, чем истинных». Какие значения может принимать число ложных заявлений?
5. На окружности отмечены 10 точек. Сколькими способами можно выбрать 3 из них так, чтобы никакие две выбранные точки не были соседними?
6. В ряд поставили 7 коробок, в одной из которых сидит кот. Каждую минуту хозяин открывает одну коробку; если кота там нет, то после этого кот обязательно переходит в соседнюю коробку. Докажите, что хозяин сможет гарантированно найти кота не более чем за 10 минут.