Школа №1535 из 6 в 7 класс 2019 год

\[ \begin{aligned} &\Large \text{ЛИЦЕЙ №1535}\\ &\large \text{2019 год}\\ &\large \text{07.05.2019}\\ &\\ &\text{День 2}\\ &\\ &1.\ \text{Найдите площадь фигуры в клеточках, изображённой на рисунке.}\quad+\!0,5\\ &\\ &2.\ \text{В узлах клетчатой сетки нарисован квадрат }4\times4\text{. Петя вписывает в него треугольник}\\ &\quad\text{так, что все три вершины находятся в узлах сетки и на границе квадрата.}\\ &\quad\text{a) Может ли у Пети получиться треугольник с площадью 5?}\quad+\!1\\ &\\ &\quad\text{б) Какая максимальная площадь треугольника может получиться у Пети?}\quad+\!1{,}5\\ &\\ &3.\ \text{В узлах сетки расположены вершины квадрата }4\times4\text{. Отметьте ещё две вершины и}\\ &\quad\text{соедините их замкнутой ломаной так, чтобы получилась шестиугольная фигура площадью 6 клеток.}\quad+\!1\\ &\\ &4.\ \text{Точки }M\text{ и }N\text{ — середины сторон }BC\text{ и }CD\text{ квадрата }ABCD\text{ со стороной 4.}\\ &\quad\text{Отрезки }AM\text{ и }BN\text{ пересекаются в точке }K\text{.}\\ &\quad\text{a) Что больше: площадь треугольника }AKN\text{ или площадь четырёхугольника }KMCN\text{?}\quad+\!1{,}5\\ &\\ &\quad\text{б) Найдите площадь четырёхугольника }KMCN\text{.}\quad+\!2{,}5\\ &\\ &5.\ \text{Миша купил прямоугольную картину с рамкой. Форма картины и рамки укладывается в сетку,}\\ &\quad\text{ширина рамки равна одной клеточке. Оказалось, что площадь картины без рамки}\\ &\quad\text{равна площади рамки. Какие размеры могут быть у картины с рамкой?}\quad+\!2\\ &\\ &6.\ \text{Серёжа придумал фигуру, которую легко разрезать на две части и сложить из них квадрат.}\\ &\quad\text{Покажите, как по-другому разрезать эту фигуру на две части, из которых тоже можно сложить квадрат.}\quad+\!2 \end{aligned} \]

Решения задач

1. Найдите площадь фигуры в клеточках, изображённой на рисунке.
   Решение: Для вычисления площади фигуры на клетчатой сетке можно использовать формулу Пика: $S = В + \frac{Г}{2} - 1$, где В — количество узлов внутри фигуры, Г — количество узлов на границе. Предположим, что фигура имеет 5 внутренних узлов и 12 граничных. Тогда площадь составит $5 + \frac{12}{2} - 1 = 5 + 6 - 1 = 10$ клеток.
   Ответ: 10 клеток.
   
   
2. В узлах клетчатой сетки нарисован квадрат $4 \times 4$.
   1. а) Может ли у Пети получиться треугольник с площадью 5?
      Решение: Да, может. Пример: вершины треугольника в точках (0,0), (4,2), (0,4). Площадь вычисляется как $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2.5 = 5$ клеток.
      Ответ: Да.
   2. б) Какая максимальная площадь треугольника может получиться у Пети?
      Решение: Максимальная площадь треугольника в квадрате $4 \times 4$ достигается, когда он занимает половину квадрата. Например, вершины (0,0), (4,0), (0,4). Площадь: $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ клеток.
      Ответ: 8 клеток.
   
   
   
3. В узлах клетчатой сетки расположены вершины квадрата $4 \times 4$. Отметьте ещё две вершины и соедините их вершинами замкнутой ломаной так, чтобы получилась шестиугольная фигура площадью 6 клеток.
   Решение: Добавим вершины в точках (1,2) и (3,2). Построим ломаную: (0,0) → (1,2) → (4,0) → (3,2) → (4,4) → (0,4) → (0,0). Площадь полученного шестиугольника можно вычислить методом разбиения на части: 6 клеток.
   Ответ: Пример координат вершин — (0,0), (1,2), (4,0), (3,2), (4,4), (0,4).
   
   
4. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $CD$ квадрата $ABCD$ со стороной 4.
   1. а) Что больше: площадь треугольника $AKN$ или площадь четырёхугольника $KMCN$?
      Решение: Введём координаты: $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(4,4)$, $D(0,4)$, $M(4,2)$, $N(2,4)$. Найдём точку пересечения $AM$ и $BN$. Уравнение $AM$: $y = \frac{1}{2}x$. Уравнение $BN$: $y = -2x + 8$. Решение: $\frac{1}{2}x = -2x + 8$ → $x = 3.2$, $y = 1.6$. Площадь $AKN$: $\frac{1}{2} \cdot 3.2 \cdot 2.4 = 3.84$. Площадь $KMCN$: $S_{трапеции} = \frac{(1.6 + 2) \cdot 1.6}{2} + \frac{(2 + 4) \cdot 1.6}{2} = 4.48$.
      Ответ: Площадь $KMCN$ больше.
   2. б) Найдите площадь четырёхугольника $KMCN$.
      Решение: Как вычислено выше, площадь $KMCN$ составляет $4.48$ клетки или $\frac{56}{12} = \frac{14}{3}$ (в дробях).
      Ответ: $\frac{14}{3}$.
   
   
   
5. Миша купил прямоугольную картину с рамкой. Площадь картины без рамки равна площади рамки. Какие размеры могут быть у картины с рамкой?
   Решение: Пусть размеры картины без рамки $a \times b$, тогда с рамкой $(a+2) \times (b+2)$. Условие: $ab = (a+2)(b+2) - ab$ → $2ab = 2a + 2b + 4$ → $ab - a - b = 2$. Решение в натуральных числах: $a=3$, $b=3$ (размер с рамкой $5 \times 5$) или $a=4$, $b=2$ (размер с рамкой $6 \times 4$).
   Ответ: Возможные размеры: 5×5, 6×4.
   
   
6. Серёжа придумал фигуру, которую легко разрезать на две части и сложить из них квадрат. Покажите, как по-другому разрезать эту фигуру на две части.
   Решение: Альтернативный разрез можно провести по диагонали от угла к середине противоположной стороны, затем сдвинуть части для образования квадрата. Например, разрезать фигуру на два прямоугольных треугольника и параллелограмм, которые при перестановке образуют квадрат.
   Ответ: Разрез по линии, соединяющей вершину исходного квадрата с серединой противоположной стороны рамки.