Школа №1535 из 6 в 7 класс 2019 год

ЛИЦЕЙ №1535

2019 год

07.05.2019

1. Пятнадцать шестерёнок зацеплены по кругу: первая со второй, вторая с третьей, и т.д., пятнадцатая с первой. Может ли такой механизм вращаться? А если их соединить произвольно не по кругу (все шестерёнки при этом должны быть связаны друг с другом)? +0,5
   
   
2. Маша пролистывала фотографии на экране телефона смахиванием руки по одной фотографии вправо или влево, вернувшись в конце концов к исходной. Докажите, что она сделала чётное количество смахиваний. +0,5
   
   
3. Может ли прямая пересекать все звенья замкнутой 15-тизвенной ломаной, не проходя через её вершины? +1
   
   
4. Разность двух целых чисел умножили на их произведение.
   1. а) Может ли в результате получиться число 1535? +0,5
   2. б) Может ли получиться 1500? +0,5
   
   
   
5. Можно ли в таблице 3 на 5 расставить целые числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке была чётной, а в каждом столбце нечётной? +1
   
   
6. Может ли так быть, что среди 15 поступающих в математический класс каждый успел познакомиться ровно с пятью другими ребятами (знакомство взаимно)? +1
   
   
7. Антон с младшей сестрой и Тоня с младшим братом поступали в матклассы и решали задачи, получив в итоге за каждую задачу целое число баллов. Антон набрал столько же баллов, сколько его сестра, а Тоня — вдвое больше, чем её брат. В сумме все они набрали 75 баллов. Сколько баллов набрала Тоня? +1,5
   
   
8. 1. а) В ряд выписаны числа от 1 до 15. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «–» так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю? +0,5
      
      
   2. б) Можно ли так сделать для чисел от 1 до 14? +1
      
      
   3. в) При каких $N$ это можно сделать для ряда чисел от 1 до $N$? +1
   
   
   
9. Улитка ползает по плоскости с постоянной скоростью. Каждые 15 минут она поворачивает под прямым углом. Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет только через целое число часов. +1

Решения задач

1. Пятнадцать шестерёнок зацеплены по кругу: первая со второй, вторая с третьей, и т.д., пятнадцатая с первой. Может ли такой механизм вращаться? А если их соединить произвольно не по кругу (все шестерёнки при этом должны быть связаны друг с другом)?
   Решение: При круговом соединении каждая шестерёнка вращается противоположно предыдущей. Поскольку их 15 (нечётное число), первая и пятнадцатая будут вращаться в противоположных направлениях, что невозможно.
   При произвольном соединении без циклов нечётной длины механизм может вращаться. Если все шестерёнки образуют дерево (без циклов), вращение возможно.
   Ответ: По кругу — нет; при произвольном соединении без циклов нечётной длины — да.
2. Маша пролистывала фотографии на экране телефона смахиванием руки по одной фотографии вправо или влево, вернувшись в конце концов к исходной. Докажите, что она сделала чётное количество смахиваний.
   Решение: Каждое движение вправо (+1) и влево (-1) меняет позицию. Чтобы вернуться в исходную точку, суммарное смещение должно быть нулевым. Количество движений вправо и влево одинаково, поэтому общее число смахиваний чётно.
   Ответ: Чётное количество.
3. Может ли прямая пересекать все звенья замкнутой 15-тизвенной ломаной, не проходя через её вершины?
   Решение: Замкнутая ломаная делит плоскость на внутреннюю и внешнюю области. Каждое пересечение прямой со звеном меняет чётность текущей области. Для пересечения всех 15 звеньев потребуется нечётное число переходов, но прямая должна начинаться и заканчиваться во внешней области, что требует чётного числа пересечений. Противоречие.
   Ответ: Нет.
4. Разность двух целых чисел умножили на их произведение.
   1. а) Может ли в результате получиться число 1535?
      Решение: $(a - b)ab = 1535$. Число 1535 нечётное, значит, $a$ и $b$ оба нечётные. Пример: $a = 1535$, $b = 1$ → $(1535 - 1) \cdot 1535 \cdot 1 = 1534 \cdot 1535$ — слишком большое. Нет решения.
      Ответ: Нет.
   2. б) Может ли получиться 1500?
      Решение: $(a - b)ab = 1500$. Пусть $a = 30$, $b = 20$: $(30 - 20) \cdot 30 \cdot 20 = 10 \cdot 600 = 6000$. Не подходит. Пример: $a = 25$, $b = 15$ → $(10) \cdot 375 = 3750$. Нет решения.
      Ответ: Нет.
5. Можно ли в таблице 3 на 5 расставить целые числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке была чётной, а в каждом столбце нечётной?
   Решение: Сумма всех чисел по строкам: $3 \cdot \text{чётное} = \text{чётное}$. Сумма по столбцам: $5 \cdot \text{нечётное} = \text{нечётное}$. Противоречие.
   Ответ: Нет.
6. Может ли так быть, что среди 15 поступающих в математический класс каждый успел познакомиться ровно с пятью другими ребятами (знакомство взаимно)?
   Решение: Граф с 15 вершинами степени 5. Сумма степеней: $15 \cdot 5 = 75$ (нечётное), что невозможно по теореме о рукопожатиях.
   Ответ: Нет.
7. Антон с младшей сестрой и Тоня с младшим братом поступали в матклассы и решали задачи, получив в итоге за каждую задачу целое число баллов. Антон набрал столько же баллов, сколько его сестра, а Тоня — вдвое больше, чем её брат. В сумме все они набрали 75 баллов. Сколько баллов набрала Тоня?
   Решение: Пусть Антон — $A$, сестра — $A$, Тоня — $2B$, брат — $B$. Тогда $2A + 3B = 75$. Подходит $B = 25$, тогда $A = 0$, Тоня: $2 \cdot 25 = 50$.
   Ответ: 50.
8. 1. а) В ряд выписаны числа от 1 до 15. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «–» так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?
      Решение: Сумма чисел от 1 до 15: $\frac{15 \cdot 16}{2} = 120$ (чётное). Пример: группировка на две части по 60. Возможно.
      Ответ: Да.
   2. б) Можно ли так сделать для чисел от 1 до 14?
      Решение: Сумма от 1 до 14: $\frac{14 \cdot 15}{2} = 105$ (нечётное). Невозможно.
      Ответ: Нет.
   3. в) При каких $N$ это можно сделать для ряда чисел от 1 до $N$?
      Решение: Сумма $S = \frac{N(N+1)}{2}$ должна быть чётной. Условие: $N \equiv 0$ или $3 \pmod{4}$.
      Ответ: При $N \equiv 0$ или $3 \pmod{4}$.
9. Улитка ползает по плоскости с постоянной скоростью. Каждые 15 минут она поворачивает под прямым углом. Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет только через целое число часов.
   Решение: За кажд улитка дви улитка движется вдоль одной оси. Возврат возможен, если перемещения по каждой оси компенсируются. Время движения по каждому направлению кратно 30 минутам (2 интервала). Минимальное время возврата: 4 интервала (1 час).
   Ответ: Через целое число часов.