8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №239 из 7 в 8 класс 2011 год (вариант 2)

Сложность:
Дата экзамена: 2011
СкачатьПечать
youit.school ©

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЛИЦЕЙ № 239

2011 год

Вариант 2

  1. Решите уравнение $(2 x+1)^{2}-3(x-5)^{2}=(x+3)(x-3)$.
  2. Сократите дробь: $\frac{x^{3}+27}{x^{2}+8 x+15}$.
  3. Ира разговаривает по телефону на 25 % больше чем Люба , а Яна разговаривает по телефону на 10 % больше чем Ира. На сколько процентов Яна разговаривает по телефону больше чем Люба?
  4. Скорость катера по течению реки равна 40,6 км/ч , а против- 32,6 км/ч.Найти скорость течения реки.
  5. Вычислите: $\frac{2^{16}-2 \cdot 8^{4}}{2^{11} \cdot 14^{2}}$.
  6. Постройте график функции $y=k x+b$, если он параллелен прямой $y=-3 x$ и проходит через точку $A(1 ; 4) .$ Укажите три точки, принадлежащие данному графику
  7. Упростите выражение: $\left(\frac{3 x}{x-4}-\frac{6 x}{x^{2}-8 x+16}\right): \frac{x-6}{16-x^{2}}+\frac{24 x}{x-4}$.
  8. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 6 см , а острый угол $-30^{\circ}$. Высота , проведенная из вершины прямого угла делит гипотенузу на два отрезка. Найдите длины этих отрезков.
  9. Существуют ли такие значения $x$ и $y$ при которых многочлены $3 x^{2}-7 x y+5$ и $2 y^{2}+7 x y-4$ одновременно принимали бы отрицательные значения?
  10. Известно , что $x^{2}-3 y^{2}=1$. Найдите $x^{4}+9 y^{4}+2 x^{2}-6 x^{2} y^{2}-6 y^{2}-1$.
  11. Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике размером $239 \times 366 ?$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение $(2 x+1)^{2}-3(x-5)^{2}=(x+3)(x-3)$.
    Решение: Раскроем скобки:
    $(2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$
    $3(x-5)^2 = 3(x^2 - 10x + 25) = 3x^2 - 30x + 75$
    $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$
    Подставим в уравнение:
    $4x^2 + 4x + 1 - (3x^2 - 30x + 75) = x^2 - 9$
    $4x^2 + 4x + 1 - 3x^2 + 30x - 75 = x^2 - 9$
    $x^2 + 34x - 74 = x^2 - 9$
    $34x - 65 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{65}{34} = \frac{13}{6.8}$
    Ответ: $\frac{65}{34}$.
  2. Сократите дробь: $\frac{x^{3}+27}{x^{2}+8 x+15}$.
    Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители:
    $x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$ (сумма кубов)
    $x^2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5)$
    Сократим общий множитель $(x + 3)$:
    $\frac{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)}{(x + 3)(x + 5)} = \frac{x^2 - 3x + 9}{x + 5}$
    Ответ: $\frac{x^2 - 3x + 9}{x + 5}$.
  3. Ира разговаривает по телефону на 25 % больше чем Люба , а Яна разговаривает по телефону на 10 % больше чем Ира. На сколько процентов Яна разговаривает по телефону больше чем Люба?
    Решение: Пусть Люба тратит $L$ минут. Тогда:
    Ира: $1.25L$
    Яна: $1.1 \cdot 1.25L = 1.375L$
    Разница: $1.375L - L = 0.375L$, что составляет $37.5\%$.
    Ответ: на $37.5\%$.
  4. Скорость катера по течению реки равна 40,6 км/ч , а против- 32,6 км/ч.Найти скорость течения реки.
    Решение: Пусть $V$ — скорость катера, $u$ — скорость течения:
    $\begin{cases} V + u = 40.6 \\ V - u = 32.6 \end{cases}$
    Сложим уравнения: $2V = 73.2 \quad \Rightarrow \quad V = 36.6$ км/ч
    Вычтем: $2u = 8 \quad \Rightarrow \quad u = 4$ км/ч
    Ответ: 4 км/ч.
  5. Вычислите: $\frac{2^{16}-2 \cdot 8^{4}}{2^{11} \cdot 14^{2}}$.
    Решение: Упростим выражения:
    $8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}$
    Числитель: $2^{16} - 2 \cdot 2^{12} = 2^{12}(2^4 - 2) = 2^{12} \cdot 14$
    Знаменатель: $2^{11} \cdot (2 \cdot 7)^2 = 2^{11} \cdot 4 \cdot 49 = 2^{13} \cdot 49$
    Сократим: $\frac{2^{12} \cdot 14}{2^{13} \cdot 49} = \frac{14}{2 \cdot 49} = \frac{7}{49} = \frac{1}{7}$
    Ответ: $\frac{1}{7}$.
  6. Постройте график функции $y=k x+b$, если он параллелен прямой $y=-3 x$ и проходит через точку $A(1 ; 4) .$ Укажите три точки, принадлежащие данному графику.
    Решение: Параллельность означает $k = -3$. Подставим точку $A(1;4)$:
    $4 = -3 \cdot 1 + b \quad \Rightarrow \quad b = 7$
    Уравнение: $y = -3x + 7$
    Точки: $(0, 7)$, $(1, 4)$, $(2, 1)$
    Ответ: $y = -3x + 7$; точки: $(0, 7)$, $(1, 4)$, $(2, 1)$.
  7. Упростите выражение: $\left(\frac{3 x}{x-4}-\frac{6 x}{x^{2}-8 x+16}\right): \frac{x-6}{16-x^{2}}+\frac{24 x}{x-4}$.
    Решение: Упростим поэтапно:
    Знаменатели: $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$, $16 - x^2 = -(x - 4)(x + 4)$
    Первая часть: $\frac{3x(x - 4) - 6x}{(x - 4)^2} = \frac{3x^2 - 18x}{(x - 4)^2} = \frac{3x(x - 6)}{(x - 4)^2}$
    Деление на $\frac{x - 6}{16 - x^2}$: $\frac{3x(x - 6)}{(x - 4)^2} \cdot \frac{-(x - 4)(x + 4)}{x - 6} = -\frac{3x(x + 4)}{x - 4}$
    Добавим $\frac{24x}{x - 4}$: $-\frac{3x(x + 4)}{x - 4} + \frac{24x}{x - 4} = \frac{-3x^2 + 12x}{x - 4} = -3x$
    Ответ: $-3x$.
  8. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 6 см , а острый угол $-30^{\circ}$. Высота , проведенная из вершины прямого угла делит гипотенузу на два отрезка. Найдите длины этих отрезков.
    Решение: Катеты: $3$ см (против $30^\circ$) и $3\sqrt{3}$ см.
    Высота: $h = \frac{3 \cdot 3\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.
    Проекции катетов на гипотенузу:
    $d_1 = \frac{3^2}{6} = 1.5$ см, $d_2 = 6 - 1.5 = 4.5$ см.
    Ответ: $1.5$ см и $4.5$ см.
  9. Существуют ли такие значения $x$ и $y$ при которых многочлены $3 x^{2}-7 x y+5$ и $2 y^{2}+7 x y-4$ одновременно принимали бы отрицательные значения?
    Решение: Сложим неравенства:
    $3x^2 - 7xy + 5 + 2y^2 + 7xy - 4 < 0 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 + 2y^2 + 1 < 0$
    Это невозможно, так как сумма квадратов неотрицательна.
    Ответ: Нет.
  10. Известно , что $x^{2}-3 y^{2}=1$. Найдите $x^{4}+9 y^{4}+2 x^{2}-6 x^{2} y^{2}-6 y^{2}-1$.
    Решение: Выразим $x^4$ через $x^2 = 1 + 3y^2$:
    $x^4 = (1 + 3y^2)^2 = 1 + 6y^2 + 9y^4$
    Подставим в выражение:
    $1 + 6y^2 + 9y^4 + 9y^4 + 2(1 + 3y^2) - 6(1 + 3y^2)y^2 - 6y^2 - 1 = 2$
    Ответ: 2.
  11. Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике размером $239 \times 366 ?$
    Решение: Используем формулу: $m + n - \text{НОД}(m, n)$
    $\text{НОД}(239, 366) = 1$ (239 — простое число)
    Количество клеток: $239 + 366 - 1 = 604$
    Ответ: 604.
Материалы школы Юайти