Школа №67 из 7 в 8 класс 2019 год

ГИМНАЗИЯ №1567

2019 год

1. Вычислите $12,6-2,6:\left(2 \frac{1}{3}-1,25\right)$.
2. Решите уравнение: $\frac{7 x-2}{3}+1=\frac{5 x+1}{2}$.
3. Теплоход идёт от Самары до Ульяновска 11 часов, а от Ульяновска до Самары $\mathbf{9}$ часов. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения Волги $\mathbf{2}$ км/ч.
4. Докажите, что число $2^{13}+2^{14}+2^{15}$ без остатка делится на 7 .
5. В слитке 10 г сплава золота и серебра с содержанием золота $40 % .$ Сколько чистого золота надо добавить к сплаву, чтобы, наоборот, содержание серебра стало равным $40 \%$ ?
6. На стороне $\boldsymbol{A B}$ треугольника $\boldsymbol{A B C \text { отмечена точка } \boldsymbol { D } \text { так, что }}$ $\angle \boldsymbol{B} \boldsymbol{C D}=\angle \boldsymbol{C A B}$. Докажите, что биссектрисы углов $\angle \boldsymbol{A} \boldsymbol{C D}$ и $\angle \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \boldsymbol{C}$ перпендикулярны друг другу.
7. Отметьте на координатной плоскости все точки $(\boldsymbol{x} ; \boldsymbol{y})$, для которых $x y-2 y-2 x+y^{2}=0$.
8. Известно, что в течение суток в каждый момент в интернет-кафе были посетители. Каждый посетитель был в кафе всего один раз и находился там меньше часа. Докажите, что можно выбрать 12 посетителей, которые в кафе не встречались.

Решения задач

1. Вычислите $12,6-2,6:\left(2 \frac{1}{3}-1,25\right)$.
   Решение:
   Сначала выполним действия в скобках:
   $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3} \approx 2,333$
   $2\frac{1}{3} - 1,25 = 2,333 - 1,25 = 1,083$
   Теперь выполним деление:
   $2,6 : 1,083 \approx 2,4$
   Выполним вычитание:
   $12,6 - 2,4 = 10,2$
   Ответ: 10,2.
   
   
2. Решите уравнение: $\frac{7 x-2}{3}+1=\frac{5 x+1}{2}$.
   Решение:
   Умножим обе части уравнения на 6 для устранения знаменателей:
   $2(7x - 2) + 6 = 3(5x + 1)$
   Раскроем скобки:
   $14x - 4 + 6 = 15x + 3$
   Упростим:
   $14x + 2 = 15x + 3$
   Перенесем переменные влево, числа вправо:
   $-x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = -1$
   Ответ: $-1$.
   
   
3. Теплоход идёт от Самары до Ульяновска 11 часов, а от Ульяновска до Самары 9 часов. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения Волги 2 км/ч.
   Решение:
   Пусть $v$ — скорость теплохода в стоячей воде. Тогда:
   По течению: $(v + 2) \cdot 9 = S$
   Против течения: $(v - 2) \cdot 11 = S$
   Приравняем расстояния:
   $(v + 2) \cdot 9 = (v - 2) \cdot 11$
   Раскроем скобки:
   $9v + 18 = 11v - 22$
   Перенесем переменные:
   $-2v = -40 \quad \Rightarrow \quad v = 20$ км/ч
   Ответ: 20.
   
   
4. Докажите, что число $2^{13}+2^{14}+2^{15}$ без остатка делится на 7.
   Решение:
   Вынесем общий множитель:
   $2^{13}(1 + 2 + 4) = 2^{13} \cdot 7$
   Так как множитель содержит 7, число делится на 7.
   Ответ: $7 \cdot 2^{13}$.
   
   
5. В слитке 10 г сплава золота и серебра с содержанием золота 40%. Сколько чистого золота надо добавить к сплаву, чтобы содержание серебра стало равным 40%?
   Ре И Исходное количество золота: $10 \cdot 0,4 = 4$ гр
   Серебра: $10 - 4 = 6$ гр
   После добавления $x$ г золота масса сплава: $10 + x$ гр
   Условие для серебра: $6 = 0,4(10 + x)$
   Решим уравнение:
   $10 + x = 15 \quad \Rightarrow \quad x = 5$ гр
   Ответ: 5.