Школа №67 из 7 в 8 класс 2023 год вариант 1-4
СкачатьПечать
youit.school ©
ГИМНАЗИЯ №1567
2023 год
- Вычислить:
\[
\left| 17{,}312 + 0{,}192 - 12{,}692 - 29{,}812 \right| - \left| \dfrac{10^{23} - 5^{13}}{3^{13}} \right|
\]
- Решите уравнение: \[
(x + 4)(3x - 1) - (3x - 2)(3x + 2) = 2x(11 - 3x)
\]
- Упростите выражение и найдите его значение при \( x = -0{,}2 \): \[
5x(x - 3)^2 - 5(x - 1)^3 + 15(x + 2)(x - 2) - 5
\]
Найдите расстояние на числовой прямой между точкой, изображающей число, обратное полученному, и точкой, изображающей число, противоположное полученному.
- Собрали 100 кг грибов, влажность которых составила 99%. Когда грибы подсушили, их влажность снизилась до 98%. Какова стала их масса?
- Представьте число \( 888778 \cdot 888776 + 1 \) в виде произведения двух натуральных чисел, больших единицы.
- При перестановке цифр в двузначном натуральном числе это число:
- а) увеличивается на 9;
- б) уменьшается на 63;
- в) увеличивается на 75%.
- Сократите дробь:
\[
\dfrac{x^5 - x^3 y^2 - x^2 y^3 + y^5}{y^3 - x^3}
\]
и найдите её значение при \( x = |\! -0{,}25 \!| \), \( y = |\! 1{,}05 \!| \).
- Отрезок \( AK \) пересекает отрезок \( BM \) в точке \( O \), причём \( AO = OK \), и прямая \( AB \parallel KM \). Докажите, что \( AM = BK \).
- В треугольнике \( ABC \) угол \( C = 70^\circ \). Через точку \( F \) стороны \( AB \) проведены лучи перпендикулярно биссектрисам углов \( A \) и \( B \), пересекающие стороны \( AC \) и \( BC \) в точках \( P \) и \( T \). Найдите угол \( \angle PFT \).
- В треугольнике \( CDE \) угол \( \angle ECD = 42^\circ \). На прямой, содержащей высоту \( EH \), отложен отрезок \( HM \), равный \( EH \). Найдите \( \angle ECM \).
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислить:
\[
\left| 17{,}312 + 0{,}192 - 12{,}692 - 29{,}812 \right| - \left| \dfrac{10^{23} - 5^{13}}{3^{13}} \right|
\]
Решение:
\[
\left| (17{,}312 + 0{,}192) - (12{,}692 + 29{,}812) \right| = \left| 17{,}504 - 42{,}504 \right| = 25
\]
Второе слагаемое:
\[
\dfrac{10^{23} - 5^{13}}{3^{13}} > 0 \quad \Rightarrow \quad \left| \dfrac{10^{23} - 5^{13}}{3^{13}} \right| = \dfrac{10^{23} - 5^{13}}{3^{13}}
\]
Итоговый результат:
\[
25 - \dfrac{10^{23} - 5^{13}}{3^{13}} \quad \text{(отрицательное число, модуль не вычисляется явно)}
\]
Ответ: Указанное выражение не имеет целочисленного решения в рамках школьной программы. Возможная опечатка в условии.
- Решите уравнение:
\[
(x + 4)(3x - 1) - (3x - 2)(3x + 2) = 2x(11 - 3x)
\]
Решение:
\[
3x^2 + 11x - 4 - (9x^2 - 4) = 22x - 6x^2
\]
\[
-6x^2 + 11x = 22x - 6x^2 \quad \Rightarrow \quad -11x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0
\]
Ответ: 0.
- Упростите выражение:
\[
5x(x - 3)^2 - 5(x - 1)^3 + 15(x + 2)(x - 2) - 5
\]
Решение:
\[
5x(x^2 - 6x + 9) - 5(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) + 15(x^2 - 4) - 5 = 30x - 60
\]
При \( x = -0{,}2 \):
\[
30(-0{,}2) - 60 = -66
\]
Обратное число: \(-\frac{1}{66}\), противоположное: \(66\). Расстояние:
\[
\left| 66 - \left(-\frac{1}{66}\right) \right| = 66 + \frac{1}{66} = 66\frac{1}{66}
\]
Ответ: \(66\frac{1}{66}\).
- Собрали 100 кг грибов с влажностью 99\%. После подсушивания влажность 98\%. Новая масса:
\[
\text{Сухое вещество} = 1% \cdot 100 = 1\ \text{кг}
\]
\[
2% \rightarrow 1\ \text{кг} \quad \Rightarrow \quad \text{Новая масса} = \frac{1}{0{,}02} = 50\ \text{кг}
\]
Ответ: 50 кг.
- Представьте число \(888778 \cdot 888776 + 1\) в виде произведения:
\[
n = 888777 \quad \Rightarrow \quad (n-1)(n+1) + 1 = n^2
\]
Ответ: \(888777 \times 888777\).
- Двузначные числа:
- а) \(12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89\)
- б) \(81, 92\)
- в) \(12, 24, 36, 48\)
- Сократите дробь:
\[
\dfrac{x^5 - x^3 y^2 - x^2 y^3 + y^5}{y^3 - x^3} = y^2 - x^2
\]
При \(x = 0{,}25\), \(y = 1{,}05\):
\[
(1{,}05)^2 - (0{,}25)^2 = 1{,}1025 - 0{,}0625 = 1{,}04
\]
Ответ: 1,04.
- Доказательство \(AM = BK\):
- \(AO = OK\), \(AB \parallel KM\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ABO \cong \triangle KMO\)
- Соответствующие стороны равны \(\Rightarrow AM = BK\)
- Угол \(\angle PFT\):
\[
\angle PFT = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ
\]
Ответ: \(110^\circ\).
- Угол \(\angle ECM\): \[ \triangle ECH \sim \triangle MCH \quad \Rightarrow \quad \angle ECM = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ \] Ответ: \(48^\circ\).
Материалы школы Юайти