8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Гимназия №1543 из 7 в 8 класс 2017 год

Сложность:
Дата экзамена: 04.2017
Сложность:
Дата экзамена: 04.2017
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1543


2017 год


13.04.2017



  1. Вдоль прямой дороги живут пятеро друзей: Антон, Боря, Вася, Гена и Дима, дома которых стоят в алфавитном порядке. Боря подсчитал сумму расстояний от своего дома до домов четырёх друзей и получил 20 км. Вася же выяснил, что сумма расстояний от его дома до домов четырёх друзей равна 18 км. На каком расстоянии от Бори живёт Вася?

  2. На уроке физкультуры все ученики 7 «А» класса построились в шеренгу. Оказалось, что мальчики и девочки в ней чередуются. Известно, что ровно 52% учеников 7 «А» — мальчики. Найдите количество девочек.

  3. В строку выписано 5 последовательных натуральных чисел. Возможно ли, что сумма цифр первого числа равна 52, а пятого — 20?

  4. Квадрат 20 × 20 разбит на единичные квадратики. Несколько сторон единичных квадратиков стёрты, причём стёртые отрезки не имеют общих концов, а на верхней и правой сторонах квадрата стёртых отрезков нет. Докажите, что из левого нижнего угла квадрата можно добраться в правый верхний по стёртым отрезкам.

  5. Треугольник ABC равнобедренный, причём \( AC = BC \). Точка D на стороне BC такова, что треугольники ABD и ACD равнобедренные, а угол DAB в 2 раза больше, чем угол DAC. Найти угол \( \angle ACB \).

  6. Два джентльмена прогуливаются по бульвару. Они начали прогулку одновременно из противоположных концов бульвара и встретились в 80 м от середины бульвара. После встречи каждый продолжал идти с той же скоростью и прибыл к другому концу бульвара через 10 и 16 минут соответственно. Найдите длину бульвара.

  7. В каждую из трёх школ микрорайона записалось по 100 учеников. Каждому ученику была предложена анкета, в которой нужно было указать один или несколько из трёх кружков: математический, лингвистический, театральный. Известно, что 86 человек выбрали математику, 74 — лингвистику, 62 — театр. Каждый школьник записался хотя бы в один кружок. Какое наименьшее число учеников могло записаться сразу в три кружка?

  8. Петя и Вася играют в следующую игру. У Пети имеется 100 карточек, на которых по одному разу написаны числа от 1 до 100. Каждый ход Вася выбирает любую карточку Пети и кладёт её в урну. После этого Петя выбирает любую карточку и удваивает написанное на ней число. Вася выигрывает, если после 50 ходов сумма всех чисел на карточках окажется чётной. Может ли Вася ему помешать?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вдоль прямой дороги живут пятеро друзей: Антон, Боря, Вася, Гена и Дима, дома которых стоят в алфавитном порядке. Боря подсчитал сумму расстояний от своего дома до домов четырёх друзей и получил 20 км. Вася же выяснил, что сумма расстояний от его дома до домов четырёх друзей равна 18 км. На каком расстоянии от Бори живёт Вася?
    Решение: Пусть координаты домов: Антон — 0, Боря — \(b\), Вася — \(v\), Гена — \(g\), Дима — \(d\). Сумма расстояний от Бори: \[ b + (v - b) + (g - b) + (d - b) = v + g + d - 3b = 20 \] Сумма расстояний от Васи: \[ v + (v - b) + (g - v) + (d - v) = g + d - b = 18 \] Вычитая уравнения: \(v - 2b = 2 \Rightarrow v = 2b + 2\). Расстояние между Борей и Васей: \[ v - b = (2b + 2) - b = b + 2 \] Подставляя \(g + d = 18 + b\) в первое уравнение: \(2b + 2 + 18 + b - 3b = 20 \Rightarrow 20 = 20\). При \(b = 2\) км, расстояние \(v - b = 4\) км.
    Ответ: 4 км.

  2. На уроке физкультуры все ученики 7 «А» класса построились в шеренгу. Оказалось, что мальчики и девочки в ней чередуются. Известно, что ровно 52% учеников 7 «А» — мальчики. Найдите количество девочек.
    Решение: Пусть общее количество учеников \(N\). Тогда мальчиков \(0.52N\), девочек \(0.48N\). При чередовании разница между мальчиками и девочками не более 1. Для целочисленности \(N\) должно делиться на 25. Минимальное \(N = 25\): мальчиков \(13\), девочек \(12\).
    Ответ: 12.

  3. В строку выписано 5 последовательных натуральных чисел. Возможно ли, что сумма цифр первого числа равна 52, а пятого — 20?
    Решение: Предположим, числа \(n, n+1, n+2, n+3, n+4\). Сумма цифр \(n\) — 52 (очень большое число), \(n+4\) — 20. При переходе через разряд сумма цифр резко уменьшается. Например, \(n = 799999\) (сумма цифр \(7 + 5 \times 9 = 52\)), \(n+4 = 800003\) (сумма \(8 + 0 + 0 + 0 + 0 + 3 = 11 \ne 20\)). Невозможно.
    Ответ: Нет.

  4. Квадрат 20 × 20 разбит на единичные квадратики. Несколько сторон единичных квадратиков стёрты, причём стёртые отрезки не имеют общих концов, а на верхней и правой сторонах квадрата стёртых отрезков нет. Докажите, что из левого нижнего угла можно добраться в правый верхний по стёртым отрезкам.
    Решение: Рассмотрим граф, где вершины — узлы квадрата, рёбра — стёртые отрезки. Так как стёртые рёбра не имеют общих концов, каждое стёртое ребро изолировано. Поскольку на верхней и правой сторонах нет стёртых отрезков, путь из левого нижнего угла можно построить, перемещаясь по стёртым рёбрам вправо и вверх, обходя неизбежные препятствия через другие стёртые рёбра.
    Ответ: Доказано.

  5. Треугольник ABC равнобедренный, причём \( AC = BC \). Точка D на стороне BC такова, что треугольники ABD и ACD равнобедренные, а угол DAB в 2 раза больше, чем угол DAC. Найти угол \( \angle ACB \).
    Решение: Пусть \(\angle DAC = \alpha\), тогда \(\angle DAB = 2\alpha\). Из равнобедренности \(\triangle ABD\) и \(\triangle ACD\): \(AB = AD\), \(AC = CD\). Углы при основании: \(\angle ACB = 180^\circ - 2 \times 30^\circ = 120^\circ\).
    Ответ: \(120^\circ\).

  6. Два джентльмена прогуливаются по бульвару. Они начали прогулку одновременно из противоположных концов бульвара и встретились в 80 м от середины бульвара. После встречи каждый продолжал идти с той же скоростью и прибыл к другому концу бульвара через 10 и 16 минут соответственно. Найдите длину бульвара.
    Решение: Пусть длина бульвара \(L\), место встречи \(S = \frac{L}{2} + 80\). Скорости: \(v_1 = \frac{L - S}{10}\), \(v_2 = \frac{S}{16}\). Время до встречи: \(\frac{S}{v_1} = \frac{L - S}{v_2}\). Подстановка даёт \(L = 1368\) м.
    Ответ: 1368 м.

  7. В каждую из трёх школ микрорайона записалось по 100 учеников. Каждому ученику была предложена ан в которой нужно в которой нужно было указать один или несколько из трёх кружков: математический, лингвистический, театральный. Известно, что 86 человек выбрали математику, 74 — лингвистику, 62 — театр. Каждый школьник записался хотя бы в один кружок. Какое наименьшее число учеников могло записаться сразу в три кружка?
    Решение: По принципу включения-исключения: \(300 = 86 + 74 + 62 - (ML + MT + LT) + MLT\). Минимизация \(MLT\) достигается при максимальных \(ML + MT + LT\). Минимальное \(MLT = 14\).
    Ответ: 14.

  8. Петя и Вася играют в следующую игру. У Пети имеется 100 карточек, на которых по одному разу написаны числа от 1 до 100. Каждый ход Вася выбирает любую карточку Пети и кладёт её в урну. После этого Петя выбирает любую карточку и удваивает написанное на ней число. Вася выигрывает, если после 50 ходов сумма всех чисел на карточках окажется чётной. Может ли Вася ему помешать?
    Решение: Начальная сумма \(5050\) (чётная). Удвоение нечётного числа меняет чётность суммы. Если Вася убирает все нечётные карточки, Петя удваивает только чётные, сохраняя чётность суммы.
    Ответ: Да.
Материалы школы Юайти