Гимназия №1543 из 6 в 7 класс 2024 год

ЛИЦЕЙ №1543

2024 год

28.05.2024

Вариант 1

1. Найдите значение выражения:
   1. \(3{,}12 : 1{,}5\)
   2. \(0{,}9 \left( \dfrac{5}{6} - \dfrac{3^3}{4} \right) + 3\)
2. Решите уравнение: \[ 3 - 2(2x + 1) = 7 - x \]
   
   
3. Ширина прямоугольника на 30% меньше его длины, а его периметр равен 3 м 6 см. Найдите площадь прямоугольника.
   
   
4. Три девицы за четыре часа спряли 900 граммов пряжи. За сколько часов пять девиц спрядут 3 килограмма пряжи? Все девицы прядут одинаково быстро.
   
   
5. Гимнастка на тренировке сначала бегала, потом выполняла силовые упражнения и закончила упражнениями на растяжку. Пробежка заняла \( \dfrac{2}{9} \) всего времени, силовые упражнения — 40% всего времени, а на растяжку осталось на 22 минуты меньше, чем на бег и силовые упражнения вместе взятые. Сколько времени бегала гимнастка?
   
   
6. 1. Сколько есть четырёхзначных чисел, больших числа 1999?
   2. Сколько чисел из пункта а) делятся на 8 с остатком 3?
   3. Сколько чисел из пункта а) не содержат в своей записи ни одной семёрки?

Решения задач

1. 1. Найдите значение выражения: \(3{,}12 : 1{,}5\)
      Решение:
      \(3{,}12 : 1{,}5 = \frac{312}{100} : \frac{15}{10} = \frac{312}{100} \cdot \frac{10}{15} = \frac{312 \cdot 10}{100 \cdot 15} = \frac{3120}{1500} = 2{,}08\)
      Ответ: 2,08.
   2. Найдите значение выражения: \(0{,}9 \left( \dfrac{5}{6} - \dfrac{3^3}{4} \right) + 3\)
      Решение:
      \(0{,}9 \left( \dfrac{5}{6} - \dfrac{27}{4} \right) + 3 = 0{,}9 \left( \dfrac{10}{12} - \dfrac{81}{12} \right) + 3 = 0{,}9 \cdot \left( -\dfrac{71}{12} \right) + 3 = -\dfrac{639}{120} + 3 = -5{,}325 + 3 = -2{,}325\)
      Ответ: -2,325.
2. Решите уравнение: \(3 - 2(2x + 1) = 7 - x\)
   Решение:
   \(3 - 4x - 2 = 7 - x\)
   \(1 - 4x = 7 - x\)
   \(-4x + x = 7 - 1\)
   \(-3x = 6\)
   \(x = \frac{6}{-3} = -2\)
   Ответ: -2.
3. Ширина прямоугольника на 30% меньше его длины, а его периметр равен 3 м 6 см. Найдите площадь прямоугольника.
   Решение:
   Пусть длина \(= x\) см, тогда ширина \(= 0{,}7x\) см.
   Периметр: \(2(x + 0{,}7x) = 3{,}4x = 306\) см
   \(x = \frac{306}{3{,}4} = 90\) см (длина)
   Ширина: \(0{,}7 \cdot 90 = 63\) см
   Площадь: \(90 \cdot 63 = 5670\) см\(^2\)
   Ответ: 5670 см².
4. Три девицы за четыре часа спряли 900 граммов пряжи. За сколько часов пять девиц спрядут 3 килограмма пряжи?
   Решение:
   Производительность трёх девиц: \(\frac{900}{4} = 225\) г/ч
   Производительность одной девицы: \(\frac{225}{3} = 75\) г/ч
   Производительность пяти девиц: \(75 \cdot 5 = 375\) г/ч
   Время для 3000 г: \(\frac{3000}{375} = 8\) часов
   Ответ: 8 часов.
5. Гимнастка на тренировке сначала бегала, потом выполняла силовые упражнения и закончила упражнениями на растяжку. Пробежка заняла \( \dfrac{2}{9} \) всего времени, силовые упражнения — 40% всего времени, а на растяжку осталось на 22 минуты меньше, чем на бег и силовые упражнения вместе взятые. Сколько времени бегала гимнастка?
   Решение:
   Пусть общее время \(= t\) минут
   Бег: \(\frac{2}{9}t\), силовые: \(0{,}4t\)
   Растяжка: \(t - \left( \frac{2}{9}t + 0{,}4t \right) = t - \frac{28}{45}t = \frac{17}{45}t\)
   Уравнение: \(\frac{17}{45}t = \left( \frac{2}{9}t + 0{,}4t \right) - 22\)
   \(\frac{17}{45}t = \frac{28}{45}t - 22\)
   \(\frac{11}{45}t = 22 \Rightarrow t = 90\) минут
   Время бега: \(\frac{2}{9} \cdot 90 = 20\) минут
   Ответ: 20 минут.
6. 1. Сколько есть четырёхзначных чисел, больших числа 1999?
      Решение:
      Числа от 2000 до 9999 включительно: \(9999 - 2000 + 1 = 8000\)
      Ответ: 8000.
   2. Сколько чисел из пункта а) делятся на 8 с остатком 3?
      Решение:
      Первое число: 2003, последнее: 9995
      Количество чисел: \(\frac{9995 - 2003}{8} + 1 = \frac{7992}{8} + 1 = 999 + 1 = 1000\)
      Ответ: 1000.
   3. Сколько чисел из пункта а) не содержат в своей записи ни одной семёрки?
      Решение:
      Первая цифра: 7 вариантов (2-6,8-9)
      Остальные цифры: 9 вариантов (0-9 без 7)
      Всего: \(7 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 5103\)
      Ответ: 5103.