Гимназия №1543 из 6 в 7 класс 2021 год

ЛИЦЕЙ №1543

2021 год

25.08.2021

1. Вычислите: \[ \dfrac{1{,}47 : 1{,}4 - 1{,}5}{\dfrac{7}{18} + \dfrac{5}{12} \cdot (-0{,}4) : \dfrac{4}{6} + \dfrac{1}{30}} \]
   
   
2. Решите уравнение:
   1. $\dfrac{7x-2}{111} = \dfrac{8x+5}{37}$;
   2. $\dfrac{2}{3}(1{,}5a + 0{,}6) - 0{,}8\left(\dfrac{5}{12}a - 0{,}5\right) = 1$.
   
   
   
3. На карте Кроша, выполненной в масштабе $1:1500$, тропинка между домиками Лосяша и Бараша имеет длину $6$ см. Какой длины будет эта тропинка на карте Ёжика, масштаб которой $1:5000$?
   
   
4. В парке к дню города сажали деревья: березы, рябины и липы. Утром посадили $\dfrac{5}{12}$ всех деревьев, в полдень – $35\%$ всех деревьев, а вечером – последние $49$ деревьев. Сколько деревьев каждого вида было посажено, если их количества относятся как $3 : 2 : 5$?
   
   
5. Сушеные яблоки содержат $20\%$ воды. Сколько воды надо выпарить из $32$ кг свежих яблок, содержащих $75\%$ воды, чтобы получить сушёные?
   
   
6. На доске написано трёхзначное число. Сумма его цифр равна двузначному числу, которое получится, если у написанного числа стереть первую цифру. Какое наибольшее возможное число могло быть написано на доске? (Напишите ответ и объясните, почему большего числа быть не могло.)

Решения задач

1. Вычислите: \[ \dfrac{1{,}47 : 1{,}4 - 1{,}5}{\dfrac{7}{18} + \dfrac{5}{12} \cdot (-0{,}4) : \dfrac{4}{6} + \dfrac{1}{30}} \] Решение:
   Вычислим числитель: \[ 1{,}47 : 1{,}4 - 1{,}5 = \frac{147}{100} : \frac{14}{10} - 1{,}5 = \frac{147}{100} \cdot \frac{10}{14} - 1{,}5 = 1{,}05 - 1{,}5 = -0{,}45 \] Вычислим знаменатель: \[ \frac{7}{18} + \frac{5}{12} \cdot (-0{,}4) : \frac{4}{6} + \frac{1}{30} = \frac{7}{18} + \left(\frac{5}{12} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) \cdot \frac{6}{4}\right) + \frac{1}{30} = \frac{7}{18} - \frac{1}{4} + \frac{1}{30} \] Приведём к общему знаменателю 180: \[ \frac{70}{180} - \frac{45}{180} + \frac{6}{180} = \frac{31}{180} \] Итоговое значение: \[ \frac{-0{,}45}{\frac{31}{180}} = -\frac{9}{20} \cdot \frac{180}{31} = -\frac{81}{31} = -2\frac{19}{31} \] Ответ: $-2\frac{19}{31}$.
   
   
2. Решите уравнение:
   1. $\dfrac{7x-2}{111} = \dfrac{8x+5}{37}$
      Решение: \[ 37(7x - 2) = 111(8x + 5) \quad \Rightarrow \quad 259x - 74 = 888x + 555 \quad \Rightarrow \quad -629x = 629 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \] Ответ: $-1$.
      
      
   2. $\dfrac{2}{3}(1{,}5a + 0{,}6) - 0{,}8\left(\dfrac{5}{12}a - 0{,}5\right) = 1$
      Решение: \[ \frac{2}{3}\left(\frac{3}{2}a + \frac{3}{5}\right) - \frac{4}{5}\left(\frac{5}{12}a - \frac{1}{2}\right) = 1 \] Упростим: \[ a + \frac{2}{5} - \frac{1}{3}a + \frac{2}{5} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{3}a + \frac{4}{5} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{2}{3}a = \frac{1}{5} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{3}{10} \] Ответ: $0{,}3$.
      
      
   
   
   
3. На карте Кроша, выполненной в масштабе $1:1500$, тропинка между домиками Лосяша и Бараша имеет длину $6$ см. Какой длины будет эта тропинка на карте Ёжика, масштаб которой $1:5000$?
   Решение:
   Реальная длина тропинки: \[ 6 \cdot 1500 = 9000 \text{ см} = 90 \text{ м} \] Длина на карте Ёжика: \[ \frac{9000}{5000} = 1{,}8 \text{ см} \] Ответ: $1{,}8$ см.
   
   
4. В парке к дню города сажали деревья: березы, рябины и липы. Утром посадили $\dfrac{5}{12}$ всех деревьев, в полдень – $35\%$ всех деревьев, а вечером – последние $49$ деревьев. Сколько деревьев каждого вида было посажено, если их количества относятся как $3 : 2 : 5$?
   Решение:
   Пусть общее количество деревьев $N$. Составим уравнение: \[ \frac{5}{12}N + 0{,}35N + 49 = N \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{12}N + \frac{7}{20}N = N - 49 \] Приведём к общему знаменателю 60: \[ \frac{25}{60}N + \frac{21}{60}N = N - 49 \quad \Rightarrow \quad \frac{46}{60}N = N - 49 \quad \Rightarrow \quad 14N = 2940 \quad \Rightarrow \quad N = 210 \] Распределим по видам (отношение $3:2:5$): \[ 3k + 2k + 5k = 10k = 210 \quad \Rightarrow \quad k = 21 \] Березы: $3 \cdot 21 = 63$, рябины: $2 \cdot 21 = 42$, липы: $5 \cdot 21 = 105$.
   Ответ: 63 берёзы, 42 рябины, 105 лип.
   
   
5. Сушеные яблоки содержат $20\%$ воды. Сколько воды надо выпарить из $32$ кг свежих яблок, содержащих $75\%$ воды, чтобы получить сушёные?
   Решение:
   Сухое вещество в свежих яблоках: \[ 32 \cdot 0{,}25 = 8 \text{ кг} \] Масса сушёных яблок: \[ \frac{8}{0{,}8} = 10 \text{ кг} \] Испарившаяся вода: \[ 32 - 10 = 22 \text{ кг} \] Ответ: 22 кг.
   
   
6. На доске написано трёхзначное число. Сумма его цифр равна двузначному числу, которое получится, если у написанного числа стереть первую цифру. Какое наибольшее возможное число могло быть написано на доске?
   Решение:
   Пусть число $100a + 10b + c$. По условию: \[ a + b + c = 10b + c \quad \Rightarrow \quad a = 9b \] Максимальное значение $a = 9$ (т.к. $a$ — цифра), тогда $b = 1$. Число имеет вид $91c$, сумма цифр: \[ 9 + 1 + c = 10 + c = 10b + c = 10 \cdot 1 + c \] Условие выполняется для любого $c$. Наибольшее число при $c = 9$: $919$.
   Ответ: 919.