Гимназия №1543 из 5 в 6 класс 2022 год

ЛИЦЕЙ №1543

2022 год

25.08.2022

1. Выполните действия: \[ 17{,}521 : 0{,}35 - 8{,}6 \cdot 1{,}097. \]
   
   
2. Решите уравнение: \[ 2 \cdot (0{,}2 - 0{,}02 : (0{,}002 + x)) = 0{,}3. \]
   
   
3. Дед засадил репой $\dfrac{2}{5}$ своего огорода, морковью — 25% остатка, а оставшиеся $270\,\text{м}^2$ отвёл под картошку. Какую площадь дед засадил репой?
   
   
4. Вниз по реке поплыл плот, а через $0{,}3$ часа вслед за ним отправилась лодка, собственная скорость которой равна $5{,}4\,\text{км/ч}$. Догнав плот, она тут же повернула назад. Через сколько времени после отправления от пристани лодка вернётся, если скорость течения реки — $1{,}8\,\text{км/ч}$?
   
   
5. У крестьянина были коза, корова и кобыла. Он подсчитал, что одного стога сена хватит: чтобы кормить козу и кобылу один месяц, либо козу и корову $\dfrac{3}{4}$ месяца, либо кобылу и корову $\dfrac{1}{3}$ месяца. Не ошибся ли он?
   
   
6. Три брата пошли в лес по грибы. Младший брат нашёл вдвое меньше грибов, чем два других брата, вместе взятые. Средний нашёл вдвое меньше, чем два других брата, вместе взятые. А старший нашёл 36 грибов. Сколько грибов нашёл каждый из братьев?

Решения задач

1. Выполните действия: \[ 17{,}521 : 0{,}35 - 8{,}6 \cdot 1{,}097. \] Решение: \[ 17{,}521 : 0{,}35 = \frac{17521}{1000} : \frac{35}{100} = \frac{17521}{350} = 50{,}06 \] \[ 8{,}6 \cdot 1{,}097 = 9{,}4342 \] \[ 50{,}06 - 9{,}4342 = 40{,}6258 \approx 40{,}63 \] Ответ: $40{,}63.$
   
   
2. Решите уравнение: \[ 2 \cdot \left(0{,}2 - 0{,}02 : (0{,}002 + x)\right) = 0{,}3. \] Решение: \[ 0{,}2 - \frac{0{,}02}{0{,}002 + x} = 0{,}15 \] \[ \frac{0{,}02}{0{,}002 + x} = 0{,}05 \] \[ 0{,}002 + x = \frac{0{,}02}{0{,}05} = 0{,}4 \] \[ x = 0{,}4 - 0{,}002 = 0{,}398 \] Ответ: $0{,}398.$
   
   
3. Дед засадил репой $\dfrac{2}{5}$ своего огорода, морковью — 25% остатка, а оставшиеся $270\,\text{м}^2$ отвёл под картошку. Какую площадь дед засадил репой?
   Решение: Пусть площадь огорода $S$. Тогда: \[ \text{Репа: } \frac{2}{5}S, \quad \text{Остаток: } \frac{3}{5}S \] \[ \text{Морковь: } 0{,}25 \cdot \frac{3}{5}S = \frac{3}{20}S \] \[ \text{Картофель: } \frac{3}{5}S - \frac{3}{20}S = \frac{9}{20}S = 270 \Rightarrow S = 600\,\text{м}^2 \] \[ \text{Репа: } \frac{2}{5} \cdot 600 = 240\,\text{м}^2 \] Ответ: $240 \text{ м}^2$.
   
   
4. Вниз по реке поплыл плот, а через $0{,}3$ часа вслед за ним отправилась лодка, собственная скорость которой равна $5{,}4\,\text{км/ч}$. Догнав плот, она тут же повернула назад. Через сколько времени после отправления от пристани лодка вернётся, если скорость течения реки — $1{,}8\,\text{км/ч}$?
   Решение: Скорость плота $1{,}8\,\text{км/ч}$. Скорость лодки по течению: \[ 5{,}4 + 1{,}8 = 7{,}2\,\text{км/ч} \] Пусть время до встречи $t$ часов. За это время плот проплыл: \[ 1{,}8(t + 0{,}3)\,\text{км} \] Лодка проплыла: \[ 7{,}2t = 1{,}8(t + 0{,}3) \Rightarrow t = 0{,}1\,\text{ч} \] Расстояние до встречи: \[ 7{,}2 \cdot 0{,}1 = 0{,}72\,\text{км} \] Время возвращения против течения: \[ \frac{0{,}72}{5{,}4 - 1{,}8} = 0{,}2\,\text{ч} \] Общее время: \[ 0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}3\,\text{ч} \] Ответ: $0,3$ часа.
   
   
5. У крестьянина были коза, корова и кобыла. Он подсчитал, что одного стога сена хватит: чтобы кормить козу и кобылу один месяц, либо козу и корову $\dfrac{3}{4}$ месяца, либо кобылу и корову $\dfrac{1}{3}$ месяца. Не ошибся ли он?
   Решение: Пусть $k$, $c$, $m$ — месячные нормы потребления. Тогда: \[ k + m = S, \quad k + c = \frac{4}{3}S, \quad m + c = 3S \] Сложим уравнения: \[ 2(k + c + m) = S + \frac{4}{3}S + 3S = \frac{16}{3}S \Rightarrow k + c + m = \frac{8}{3}S \] Из первого уравнения $c = \frac{8}{3}S - S = \frac{5}{3}S$. Подставим во второе: \[ k + \frac{5}{3}S = \frac{4}{3}S \Rightarrow k = -\frac{1}{3}S \] Невозможность отрицательного потребления показывает ошибку. Ответ: ошибся.
   
   
6. Три брата пошли в лес по грибы. Младший брат нашёл вдвое меньше грибов, чем два других брата, вместе взятые. Средний нашёл вдвое меньше, чем два других брата, вместе взятые. А старший нашёл 36 грибов. Сколько грибов нашёл каждый из братьев?
   Решение: Пусть младший — $m$, средний — $s$, старший — 36. Тогда: \[ m = \frac{s + 36}{2}, \quad s = \frac{m + 36}{2} \] Подставим $m$ во второе уравнение: \[ s = \frac{\frac{s + 36}{2} + 36}{2} \Rightarrow 4s = s + 108 \Rightarrow s = 36 \] Тогда: \[ m = \frac{36 + 36}{2} = 36 \] Ответ: младший — 36, средний — 36, старший — 36.