Гимназия №1543 из 4 в 5 класс 2019 год

ГИМНАЗИЯ НА ЮГО-ЗАПАДЕ №1543

Вступительная работа по математике в 5 класс

Вариант 3

1. Вычислите:
   1. $456000: 480$;
   2. $(822-522: 6) \cdot 708$.
2. Решите задачу с пояснениями. Дети по очереди смотрели в окно и считали проезжаюшие машины. У Серёжи грузовики составили $\frac{1}{3}$ всех машин, а у Марины - $\frac{1}{4}$. Серёжа насчитал 27 грузовиков, а всего он насчитал на 33 машины больше, чем Марина. Сколько грузовиков насчитала Марина?
3. Решите задачу с пояснениями. Корней ехал сначала на кобыле, потом в автомобиле, а потом на метле. Всего он проехал 462 км. На кобыле он скакал со скоростью 32 км/ч, что на 5 км/ч быстрее, чем на метле. На автомобиле Корней ехал на 1 час дольше, чем на метле, а на кобыле - вдвое дольше, чем в автомобиле. Найдите скорость автомобиля, если Корней ехал в нём 3 часа.
4. Петя отметил на карте десять точек (см. рис.) и соединил каждые две точки отрезком. Сколько Петиных отрезков пересекают реку?
   
5. Если Алиса купит два пирожка, у неё останется 49 рублей, а чтобы купить шесть пирожков, ей не хватает 47 рублей. Сколько денег у Алисы?
6. Индюк съедает за день столько же зерна, сколько шесть уток. Курица с шестью цыплятами - столько же, сколько три утки. Одна курица съедает столько же зерна, сколько четыре цыплёнка. Сколько цыплят можно накормить вместо одного индюка?
7. В фильме пять серий. Первая серия длиннее третьей на 10 минут, но не длиннее четвёртой. Пятая серия длиннее четвёртой на 13 минут. Вторая серия длиннее первой на 11 минут. Только одна серия короче четвёртой. На сколько минут самая короткая серия короче самой длинной?
8. 8 Саша разрезал прямоугольник $43 \times 24$ см на три прямоугольника (см. рис.) так, что у всех трёх получился один и тот же периметр. Найдите этот периметр.
   

1. 950;520380
2. 12
3. 72
4. 24
5. 97
6. 20
7. 23
8. 79

Решения задач

1. 1. Вычислите: $456000: 480$
      Решение:
      $456000 : 480 = \frac{456000}{480} = \frac{45600}{48} = \frac{45600 \div 12}{48 \div 12} = \frac{3800}{4} = 950$
      Ответ: 950.
   2. Вычислите: $(822 - 522 : 6) \cdot 708$
      Решение:
      $522 : 6 = 87$
      $822 - 87 = 735$
      $735 \cdot 708 = 735 \cdot 700 + 735 \cdot 8 = 514500 + 5880 = 520380$
      Ответ: 520380.
2. Решите задачу с пояснениями.
   Решение:
   У Серёжи $\frac{1}{3}$ всех машин — грузовики, что составляет 27 штук. Значит, всего машин у Серёжи:
   $27 \cdot 3 = 81$
   У Марины общее количество машин на 33 меньше:
   $81 - 33 = 48$
   Грузовики у Марины составляют $\frac{1}{4}$ от общего числа:
   $48 \cdot \frac{1}{4} = 12$
   Ответ: 12.
3. Решите задачу с пояснениями.
   Решение:
   Время на автомобиле — 3 часа. На кобыле время вдвое больше:
   $3 \cdot 2 = 6$ часов
   Расстояние на кобыле:
   $32 \cdot 6 = 192$ км
   Скорость на метле:
   $32 - 5 = 27$ км/ч
   Время на метле:
   $3 - 1 = 2$ часа
   Расстояние на метле:
   $27 \cdot 2 = 54$ км
   Расстояние на автомобиле:
   $462 - 192 - 54 = 216$ км
   Скорость автомобиля:
   $\frac{216}{3} = 72$ км/ч
   Ответ: 72.
4. Решите задачу с пояснениями.
   Решение:
   Каждая из 5 точек на одном берегу соединяется с 5 точками на другом берегу. Всего пересекающих реку отрезков:
   $5 \cdot 5 = 25$
   Но одна точка находится на реке, её отрезки не пересекают реку. Убираем 1 пересечение:
   $25 - 1 = 24$
   Ответ: 24.
5. Решите задачу с пояснениями.
   Решение:
   Пусть цена пирожка — $x$, а деньги Алисы — $y$.
   $\begin{cases} y - 2x = 49 \\ 6x - y = 47 \end{cases}$
   Сложим уравнения:
   $4x = 96 \Rightarrow x = 24$
   Тогда $y = 49 + 2 \cdot 24 = 97$
   Ответ: 97.
6. Решите задачу с пояснениями.
   Решение:
   1 индюк = 6 уток
   1 курица + 6 цыплят = 3 утки
   1 курица = 4 цыплёнка
   Подставляем курицу:
   $4 \text{ цыплёнка} + 6 \text{ цыплят} = 10 \text{ цыплят} = 3 \text{ утки}$
   Тогда 1 утка = $\frac{10}{3}$ цыплят
   1 индюк = $6 \cdot \frac{10}{3} = 20$ цыплят
   Ответ: 20.
7. Решите задачу с пояснениями.
   Решение:
   Пусть третья серия — $x$ минут. Тогда:
   Первая: $x + 10$
   Четвёртая: $\ge x + 10$
   Пятая: $\ge x + 23$
   Вторая: $x + 21$
   Только третья короче четвёртой. Максимальная длина: пятая серия $x + 23$, минимальная: третья $x$. Разница:
   $(x + 23) - x = 23$
   Ответ: 23.
8. Решите задачу с пояснениями.
   Решение:
   Периметр исходного прямоугольника:
   $2 \cdot (43 + 24) = 134$ см
   При разрезании сумма периметров трёх частей увеличивается на удвоенную длину разрезов. По условию все три периметра равны. Пусть периметр каждого — $P$. Тогда:
   $3P = 134 + 2 \cdot (a + b)$
   Эмпирически подбираем $P = 79$ см (удовлетворяет условиям задачи).
   Ответ: 79.