Гимназия №1543 из 7 в 8 класс 2025 год

Школа 1543

Из 7 в 8

1. Вычислите:
   • \( 5 - 3(1 - 2 : 0{,}5) \)
   • \( 5{,}95 : 3{,}4 - \left(1 \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6} \right) \cdot 0{,}7 \)
   
   
   
2. Упростите выражение \( (6x + 8)^2 + (8x - 6)^2 - 100x(x - 1) \) и вычислите его значение при \( x = -1{,}543 \).
   
   
3. Решите уравнение: \[ \frac{3}{2} - \frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} = 6 \]
   
   
4. В этом задании нужно только написать ответ. Выпишите буквы, которым соответствуют верные утверждения:
   • Биссектриса треугольника делит его сторону на две равные части
   • Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны
   • Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, пересекает и другую
   • Угол при основании равнобедренного треугольника всегда является острым
   • Смежные углы равны
   
   
   
5. Разложите на множители:
   • \( 64a^3 + m^3 \)
   • \( 12a^4 - 75 \)
   • \( xz - 4xy - 2yz + 2x^2 \)
   
   
   
6. В квартире три комнаты, общая площадь которых 51 м\(^2\). Площадь первой комнаты вдвое меньше площади второй и на 3 м\(^2\) меньше площади третьей комнаты. Чему равна площадь каждой комнаты?
   
   
7. На стороне \( BC \) треугольника \( ABC \) отметили такую точку \( K \), что \( AB = AK \). Найдите углы треугольника \( ABC \), если известно, что \( \angle KAC = 15^\circ \), а \( \angle AKB = 43^\circ \).
   
   
8. В магазине одежды сегодня скидка $30\%$, и Фёдор купил рубашку за 1547 рублей. Сколько рублей бы ему заплатить за эту рубашку, если бы скидки не было?
   
   
9. Обычно поезд едет из Краснодара в Геленджик 3 часа, но в этот раз спустя час после отправления машинисту пришлось снизить скорость на 10 км/ч. В результате поезд приехал в Геленджик с опозданием на 20 минут. Каково расстояние (по железной дороге) от Краснодара до Геленджика?

Решения задач

1. 1. Вычислите: \( 5 - 3(1 - 2 : 0{,}5) \)
      Решение: \[ 5 - 3(1 - 2 : 0{,}5) = 5 - 3(1 - 4) = 5 - 3 \cdot (-3) = 5 + 9 = 14 \] Ответ: 14.
   2. Вычислите: \( 5{,}95 : 3{,}4 - \left(1 \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6} \right) \cdot 0{,}7 \)
      Решение: \[ 5{,}95 : 3{,}4 = 1{,}75; \quad 1 \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{3} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{6} = 2{,}5 \] \[ 1{,}75 - 2{,}5 \cdot 0{,}7 = 1{,}75 - 1{,}75 = 0 \] Ответ: 0.
2. Упростите выражение \( (6x + 8)^2 + (8x - 6)^2 - 100x(x - 1) \)
   Решение: \[ (6x + 8)^2 + (8x - 6)^2 = 36x^2 + 96x + 64 + 64x^2 - 96x + 36 = 100x^2 + 100 \] \[ 100x^2 + 100 - 100x(x - 1) = 100x^2 + 100 - 100x^2 + 100x = 100x + 100 \] При \( x = -1{,}543 \): \[ 100 \cdot (-1{,}543) + 100 = -154{,}3 + 100 = -54{,}3 \] Ответ: \(-54{,}3\).
3. Решите уравнение: \(\frac{3}{2} - \frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} = 6\)
   Решение: \[ 9 - 3x - 2(x - 1) = 36 \quad \text{(умножили на 6)} \] \[ 9 - 3x - 2x + 2 = 36 \quad \Rightarrow \quad 11 - 5x = 36 \quad \Rightarrow \quad x = -5 \] Ответ: \(-5\).
4. Верные утверждения:
   А) Неверно (это медиана). Б) Неверно (нужен угол между сторонами). В) Верно. Г) Верно. Д) Неверно.
   Ответ: В, Г.
5. 1. Разложите на множители: \( 64a^3 + m^3 \)
      Решение: \[ (4a)^3 + m^3 = (4a + m)(16a^2 - 4am + m^2) \] Ответ: \((4a + m)(16a^2 - 4am + m^2)\).
   2. Разложите на множители: \( 12a^4 - 75 \)
      Решение: \[ 3(4a^4 - 25) = 3(2a^2 - 5)(2a^2 + 5) \] Ответ: \(3(2a^2 - 5)(2a^2 + 5)\).
   3. Разложите на множители: \( xz - 4xy - 2yz + 2x^2 \)
      Решение: \[ 2x^2 - 4xy + xz - 2yz = 2x(x - 2y) + z(x - 2y) = (x - 2y)(2x + z) \] Ответ: \((x - 2y)(2x + z)\).
6. Площади комнат:
   Решение: Пусть площадь первой комнаты \(x\) м\(^2\), тогда: \[ x + 2x + (x + 3) = 51 \quad \Rightarrow \quad 4x = 48 \quad \Rightarrow \quad x = 12 \] Ответ: 12 м\(^2\), 24 м\(^2\), 15 м\(^2\).
7. Углы треугольника \(ABC\):
   Решение: \[ \angle ABK = 43^\circ \quad (\triangle ABK \text{ — равнобедренный}) \] \[ \angle BAK = 180^\circ - 2 \cdot 43^\circ = 94^\circ \] \[ \angle BAC = 94^\circ + 15^\circ = 109^\circ \] \[ \angle ABC = 43^\circ, \quad \angle ACB = 180^\circ - 109^\circ - 43^\circ = 28^\circ \] Ответ: \(109^\circ\), \(43^\circ\), \(28^\circ\).
8. Исходная цена рубашки:
   Решение: \[ 1547 \text{ руб.} = 70% \quad \Rightarrow \quad 100% = \frac{1547}{0{,}7} = 2210 \text{ руб.} \] Ответ: 2210 руб.
9. Расстояние Краснодар — Геленджик:
   Решение: Пусть обычная скорость \(v\) км/ч, тогда: \[ 1 \cdot v + \frac{2v}{v - 10} = 3 + \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad v = 70 \text{ км/ч} \] \[ S = 3v = 210 \text{ км} \] Ответ: 210 км.