8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Гимназия №1543 из 7 в 8 класс 2023 год

Сложность:
Дата экзамена: 03.2023
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1543


2023 год


31.03.2023



  1. Вычислите: \[ \frac{\left(5^{11} + 3 \cdot 5^8\right)^2}{10^{15}}. \]

  2. Решите уравнение: \[ \frac{(x - 2)(3x + 5)}{3} + \frac{(x + 1)(2 - 5x)}{5} = -2. \]

  3. В треугольнике $XYZ$ провели биссектрису $XL$. На стороне $XZ$ отметили такую точку $K$, что $KY \perp XL$. Докажите, что $KL = LY$.

  4. Разложите на три множителя: \[ 0{,}9a^3 + 0{,}3a^2 - 0{,}4ab^2 - 0{,}2ab. \]

  5. Существует ли 10-угольник, который можно разрезать на 5 треугольников?

  6. На доске выписаны натуральные числа от 1 до 24. Вовочка обвёл 12 из них. Оказалось, что сумма никаких двух обведённых чисел не равна 25. Докажите, что Вовочка обязательно обвёл хотя бы один точный квадрат.

  7. В марсианскую танцевальную секцию ходят зелёные и фиолетовые марсиане. Сегодня там разучивают парный танец. 84% всех фиолетовых марсиан танцуют в паре с зелёными, 60% всех зелёных марсиан танцуют в паре с фиолетовыми, а остальные марсиане танцуют с партнёром своего цвета. Какую долю от всех пар составляют разнополётные?

  8. Маше, Кате и велосипедисту Васе нужно было добраться из посёлка на станцию. Вася посадил сначала Машу и повёз её на велосипеде, а Катя пошла пешком. Через 42 минуты Вася высадил Машу и поехал обратно к посёлку за Катей, а Маша пошла дальше пешком. Встретив Катю, Вася посадил её к себе и повёз на станцию. Все трое добрались до станции одновременно. Маша и Катя ходят со скоростью 3 км/ч, Вася в одиночку едет со скоростью 25 км/ч, а пассажиров возит со скоростью 15 км/ч.
    1. Изобразите в одной системе координат графики движений всех троих.
    2. Найдите расстояние от посёлка до станции и время, затраченное ребятами на поездку.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \frac{\left(5^{11} + 3 \cdot 5^8\right)^2}{10^{15}}. \]
    Решение: Вынесем общий множитель в числителе: \[ 5^{11} + 3 \cdot 5^8 = 5^8(5^3 + 3) = 5^8 \cdot 128. \] Возведём в квадрат: \[ (5^8 \cdot 128)^2 = 5^{16} \cdot 128^2 = 5^{16} \cdot (2^7)^2 = 5^{16} \cdot 2^{14}. \] Преобразуем знаменатель: \[ 10^{15} = (2 \cdot 5)^{15} = 2^{15} \cdot 5^{15}. \] Сократим дробь: \[ \frac{5^{16} \cdot 2^{14}}{2^{15} \cdot 5^{15}} = \frac{5}{2} = 2{,}5. \]
    Ответ: \(2{,}5\).

  2. Решите уравнение: \[ \frac{(x - 2)(3x + 5)}{3} + \frac{(x + 1)(2 - 5x)}{5} = -2. \]
    Решение: Умножим обе части на 15: \[ 5(x - 2)(3x + 5) + 3(x + 1)(2 - 5x) = -30. \] Раскроем скобки: \[ 5(3x^2 - x - 10) + 3(-5x^2 - 3x + 2) = -30, \] \[ 15x^2 - 5x - 50 - 15x^2 - 9x + 6 = -30, \] \[ -14x - 44 = -30 \quad \Rightarrow \quad -14x = 14 \quad \Rightarrow \quad x = -1. \]
    Ответ: \(-1\).

  3. В треугольнике \(XYZ\) провели биссектрису \(XL\). На стороне \(XZ\) отметили точку \(K\) так, что \(KY \perp XL\). Докажите, что \(KL = LY\).
    Решение: Пусть \(KY\) пересекает \(XL\) в точке \(M\). Так как \(KY \perp XL\), то \(M\) — основание перпендикуляра. По свойству биссектрисы \(XL\) делит угол \(X\) пополам. Треугольники \(KML\) и \(YML\) прямоугольные с общей гипотенузой \(ML\). Поскольку \(XL\) — биссектриса, углы \(KLM\) и \(YLM\) равны, следовательно, треугольники \(KLM\) и \(YLM\) равны по катету и острому углу. Отсюда \(KL = LY\).
    Ответ: Доказано.

  4. Разложите на три множителя: \[ 0{,}9a^3 + 0{,}3a^2 - 0{,}4ab^2 - 0{,}2ab. \]
    Решение: Сгруппируем слагаемые: \[ (0{,}9a^3 - 0{,}4ab^2) + (0{,}3a^2 - 0{,}2ab). \] Вынесем общие множители: \[ 0{,}1a(9a^2 - 4b^2) + 0{,}1a(3a - 2b). \] Разложим разность квадратов: \[ 0{,}1a(3a - 2b)(3a + 2b) + 0{,}1a(3a - 2b). \] Вынесем общий множитель: \[ 0{,}1a(3a - 2b)(3a + 2b + 1). \]
    Ответ: \(0{,}1a(3a - 2b)(3a + 2b + 1)\).

  5. Существует ли 10-угольник, который можно разрезать на 5 треугольников?
    Решение: По теореме триангуляции минимальное количество треугольников для разбиения \(n\)-угольника равно \(n - 2\). Для 10-угольника требуется минимум 8 треугольников. Следовательно, разрезать на 5 треугольников невозможно.
    Ответ: Нет.

  6. На доске выписаны натуральные числа от 1 до 24. Вовочка обвёл 12 из них. Оказалось, что сумма никаких двух обведённых чисел не равна 25. Докажите, что Вовочка обязательно обвёл хотя бы один точный квадрат.
    Решение: Пары чисел, дающих в сумме 25: \((1,24), (2,23), \ldots, (12,13)\). Всего 12 пар. Если Вовочка выбрал 12 чисел, не содержащих ни одной пары, то из каждой пары выбрано ровно одно число. Точные квадраты: \(1, 4, 9, 16\). Числа \(9\) и \(16\) образуют пару \((9,16)\). Если бы Вовочка не обвёл ни одного квадрата, то из пары \((9,16)\) он выбрал бы \(16\), но \(16 = 4^2\) — точный квадрат. Противоречие.
    Ответ: Доказано.

  7. В марсианскую танцевальную секцию ходят зелёные и фиолетовые марсиане. 84% фиолетовых танцуют с зелёными, 60% зелёных танцуют с фиолетовыми. Какую долю от всех пар составляют разнополётные?
    Решение: Пусть \(F\) — количество фиолетовых, \(G\) — зелёных. Из условий: \[ 0{,}84F = 0{,}6G \quad \Rightarrow \quad G = 1{,}4F. \] Количество разнополётных пар: \(0{,}84F\). Одноцветные пары: \[ \frac{0{,}16F}{2} + \frac{0{,}4G}{2} = 0{,}08F + 0{,}2G. \] Общее количество пар: \[ 0{,}84F + 0{,}08F + 0{,}2 \cdot 1{,}4F = 1{,}2F. \] Доля разнополётных: \[ \frac{0{,}84F}{1{,}2F} = 0{,}7. \]
    Ответ: \(70\%\).

    1. -
    2. Расстояние \(S\) от посёлка до станции найдём из уравнения: \[ \frac{S - 10{,}5}{15} = \frac{S - 13{,}5}{3}. \]
      Решение: \[ S - 10{,}5 = 5(S - 13{,}5) \quad \Rightarrow \quad S = 14{,}25 \text{ км}. \] Общее время: \[ 0{,}7 + 0{,}3 + 0{,}25 = 1{,}25 \text{ часа}. \]
      Ответ: \(14{,}25\) км, \(1{,}25\) часа.
Материалы школы Юайти