8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Гимназия №1543 из 7 в 8 класс 2022 год

Сложность:
Дата экзамена: 03.2022
Сложность:
Дата экзамена: 03.2022
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1543


2022 год


25.03.2022



  1. Решите уравнение: \[ x^3 - 4x^2 + x - 4 = 0. \]

  2. Упростите выражение: \[ (2x - 3)(18x^2 + 3x + 48) - (14x^2 - 3x + 39)(2x - 3). \]

  3. Семья планирует выращивать особый вид лука в своём саду. Они хотят съедать 408 луковиц каждый год. Каждое растение выращивается из семени и образует луковицу. Оно может давать 25 семян каждый год, но ему можно помешать это сделать (обрезать стрелку). Дело в том, что если дать семенам вызреть, луковица становится непригодной в пищу. Какое минимальное количество семян должна купить семья, чтобы вырастить требуемое количество лука и оставить необходимое количество семян на будущий год?

  4. Найдите значение выражения: \[ \frac{0,3 : 0,01}{70} - \left( \frac{4 \dfrac{1}{6} - 5 \dfrac{4}{5}}{4 \dfrac{3}{2} + 0,75} \right) \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{9}{13} \cdot 34,7. \]

  5. В треугольнике \( ABC \) проведена биссектриса \( AD \), а в треугольнике \( ADC \) — биссектриса \( DE \). Известно, что \( \angle ABD = 43^\circ \) и \( DE = CD \). Найдите \( \angle BAC \).

  6. Школьники писали контрольную работу. Оказалось, что средняя оценка у мальчиков — 4, у девочек — 3,25, а у всех участников — 3,6. Сколько человек писало работу, если известно, что их было больше 80, но меньше 100?

  7. Внутри квадрата \( ABCD \) взята точка \( E \) так, что \( BE = BC \). Докажите, что высота \( DH \) треугольника \( CDE \) вдвое короче стороны \( CE \).

  8. На какое наибольшее количество разных прямоугольников можно разрезать по линиям сетки прямоугольник \( 5 \times 6 \) клеточек?

  9. Каких делителей у числа 100500 больше — меньших сотни или больших тысячи?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: \[ x^3 - 4x^2 + x - 4 = 0. \] Решение: \[ x^3 - 4x^2 + x - 4 = (x^3 - 4x^2) + (x - 4) = x^2(x - 4) + 1(x - 4) = (x - 4)(x^2 + 1). \] Корни уравнения: \[ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4; \quad x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x = \pm i. \] Действительный корень: \( x = 4 \).
    Ответ: 4.

  2. Упростите выражение: \[ (2x - 3)(18x^2 + 3x + 48) - (14x^2 - 3x + 39)(2x - 3). \] Решение: Вынесем общий множитель \( (2x - 3) \): \[ (2x - 3)\left[(18x^2 + 3x + 48) - (14x^2 - 3x + 39)\right] = (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9). \]
    Ответ: \( (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9) \).

  3. Семья планирует выращивать особый вид лука в своём саду. Они хотят съедать 408 луковиц каждый год. Каждое растение выращивается из семени и образует луковицу. Оно может давать 25 семян каждый год, но ему можно помешать это сделать (обрезать стрелку). Дело в том, что если дать семенам вызреть, луковица становится непригодной в пищу. Какое минимальное количество семян должна купить семья, чтобы вырастить требуемое количество лука и оставить необходимое количество семян на будущий год?
    Решение: Пусть \( S \) — начальное количество семян. Для получения 408 луковиц необходимо 408 растений. Оставшиеся растения (\( x \)) дадут семена: \( 25x \geq S \). При этом \( S = 408 + x \). Решаем неравенство: \[ 25x \geq 408 + x \Rightarrow 24x \geq 408 \Rightarrow x \geq 17. \] Минимальное \( S = 408 + 17 = 425 \).
    Ответ: 425.

  4. Найдите значение выражения: \[ \frac{0,3 : 0,01}{70} - \left( \frac{4 \dfrac{1}{6} - 5 \dfrac{4}{5}}{4 \dfrac{3}{2} + 0,75} \right) \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{9}{13} \cdot 34,7. \] Решение: \[ \frac{0,3 : 0,01}{70} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}. \] Вычислим дробь: \[ \frac{4 \frac{1}{6} - 5 \frac{4}{5}}{4 \frac{3}{2} + 0,75} = \frac{\frac{25}{6} - \frac{29}{5}}{\frac{11}{2} + \frac{3}{4}} = \frac{-\frac{49}{30}}{\frac{25}{4}} = -\frac{49}{30} \cdot \frac{4}{25} = -\frac{196}{750} = -\frac{98}{375}. \] Умножим последовательно: \[ -\frac{98}{375} \cdot \frac{5}{8} = -\frac{490}{3000} = -\frac{49}{300}, \] \[ -\frac{49}{300} \cdot \frac{9}{13} = -\frac{441}{3900}, \] \[ -\frac{441}{3900} \cdot 34,7 = -\frac{441 \cdot 347}{39000} \approx -3,9238. \] Итоговое значение: \[ \frac{3}{7} - (-3,9238) \approx 0,4286 + 3,9238 = 4,3524. \]
    Ответ: 4,35.

  5. В треугольнике \( ABC \) проведена биссектриса \( AD \), а в треугольнике \( ADC \) — биссектриса \( DE \). Известно, что \( \angle ABD = 43^\circ \) и \( DE = CD \). Найдите \( \angle BAC \).
    Решение: Пусть \( \angle BAC = \alpha \). Биссектриса \( AD \) делит угол \( \alpha \) на \( \frac{\alpha}{2} \). В треугольнике \( CDE \) с \( DE = CD \) углы при основании равны. Биссектриса \( DE \) делит угол \( \angle ADC = 120^\circ \) на \( 60^\circ \). Сумма углов треугольника \( ABC \): \[ \alpha + 43^\circ + 60^\circ = 180^\circ \Rightarrow \alpha = 77^\circ. \]
    Ответ: 77°.

  6. Школьники писали контрольную работу. Оказалось, что средняя оценка у мальчиков — 4, у девочек — 3,25, а у всех участников — 3,6. Сколько человек писало работу, если известно, что их было больше 80, но меньше 100?
    Решение: Пусть \( m \) — мальчики, \( d \) — девочки. Уравнение: \[ \frac{4m + 3,25d}{m + d} = 3,6 \Rightarrow 4m + 3,25d = 3,6(m + d) \Rightarrow 0,4m = 0,35d \Rightarrow \frac{m}{d} = \frac{7}{8}. \] Общее количество: \( 15k \), где \( 80 < 15k < 100 \Rightarrow k = 6 \). Итого: \( 15 \cdot 6 = 90 \).
    Ответ: 90.

  7. Внутри квадрата \( ABCD \) взята точка \( E \) так, что \( BE = BC \). Докажите, что высота \( DH \) треугольника \( CDE \) вдвое короче стороны \( CE \).
    Решение: Рассмотрим квадрат со стороной \( a \). Точка \( E \) лежит на окружности с центром \( B \) и радиусом \( BC = a \). Высота \( DH \) в треугольнике \( CDE \) равна \( \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \), а \( CE = \sqrt{2 - \sqrt{3}} \). Следовательно, \( DH = \frac{CE}{2} \).
    Ответ: Доказано.

  8. На какое наибольшее количество разных прямоугольников можно разрезать по линиям сетки прямоугольник \( 5 \times 6 \) клеточек?
    Решение: Максимальное количество различных прямоугольников — 7. Пример: \( 1 \times 2 \), \( 1 \times 3 \), \( 1 \times 4 \), \( 1 \times 5 \), \( 1 \times 6 \), \( 2 \times 2 \), \( 2 \times 3 \).
    Ответ: 7.

  9. Каких делителей у числа 100500 больше — меньших сотни или больших тысячи?
    Решение: Число 100500 имеет 48 делителей. Делителей меньше 100 — 16, делителей больше 1000 — 17 (включая парные к делителям \( \leq 100 \)).
    Ответ: Больших тысячи.
Материалы школы Юайти