Гимназия №1543 из 7 в 8 класс 2021 год

ЛИЦЕЙ №1543

2021 год

16.04.2021

1. Если каждую сторону прямоугольника увеличить на 4, его площадь вырастет на 80. А во сколько раз вырастет периметр?
   
   
2. Вычислите: \[ \frac{20214 - 10214}{1000000 + 2021 \cdot 2042} \]
   
   
3. Оля написала десять натуральных чисел, произведение которых оканчивается тремя нулями. Соня чисел не видела, но утверждает, что может выбрать шесть из них так, что для них это свойство также будет выполнено. Не ошибается ли Соня?
   
   
4. Есть две белых серёжки и много красных. Трём девушкам надевают по две серёжки (возможно, разного цвета) и сажают так, что первая видит, какие серёжки у остальных, вторая видит, какие серёжки на третьей, а третья не видит ничего. У первой девушки спросили, может ли она сказать, какие на ней серёжки, она ответила "нет". То же спросили у второй, и она также ответила "нет". А вот третья ответила, что может назвать свои серёжки. Какие же на ней серёжки?
   
   
5. $AN$ и $BM$ – высоты равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$. Биссектриса угла $C$ пересекает отрезок $BM$ в точке $I$. Оказалось, что $IH \parallel AC$. Докажите, что $AN = BI$.
   
   
6. Дан квадрат $6 \times 6$ клеточек. Его разрезали по границам клеток на несколько прямоугольников различной площади. Какое наибольшее число прямоугольников могло получиться?
   
   
7. В Макдональдсе можно заказать Chicken McNuggets в коробках по 6, 9 или 20. Ваня хочет заказать ровно $n$ наггетсов. Для какого максимального $n$ он не сможет этого сделать?
   
   
8. Прохожего, идущего вдоль трамвайной линии, каждые 7 минут догоняет трамвай, а каждые 5 минут проходит мимо ему навстречу. На самом деле трамваи в обоих направлениях отправляются через один и тот же интервал времени. Какой?
   
   

Решения задач

1. Если каждую сторону прямоугольника увеличить на 4, его площадь вырастет на 80. А во сколько раз вырастет периметр?
   Решение: Пусть исходные стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\). После увеличения стороны станут \(a + 4\) и \(b + 4\). Уравнение для изменения площади: \[ (a + 4)(b + 4) - ab = 80 \implies 4a + 4b + 16 = 80 \implies a + b = 16 \] Исходный периметр: \(2(a + b) = 32\). Новый периметр: \(2(a + 4 + b + 4) = 2(a + b + 8) = 48\). Отношение периметров: \[ \frac{48}{32} = 1{,}5 \] Ответ: периметр увеличится в \(1{,}5\) раза.
2. Вычислите: \[ \frac{20214 - 10214}{1000000 + 2021 \cdot 2042} \]
   Решение: Числитель: \[ 20214 - 10214 = 10000 \] Знаменатель: \[ 2021 \cdot 2042 = 2021 \cdot (2000 + 42) = 2021 \cdot 2000 + 2021 \cdot 42 = 4\,042\,000 + 84\,882 = 4\,126\,882 \] \[ 1000000 + 4\,126\,882 = 5\,126\,882 \] Итоговая дробь: \[ \frac{10000}{5\,126\,882} = \frac{5000}{2\,563\,441} \] Ответ: \(\frac{5000}{2\,563\,441}\).
3. Оля написала десять натуральных чисел, произведение которых оканчивается тремя нулями. Соня чисел не видела, но утверждает, что может выбрать шесть из них так, что для них это свойство также будет выполнено. Не ошибается ли Соня?
   Решение: Для трёх нулей в произведении необходимо минимум три множителя \(2\) и три множителя \(5\). В исходных десяти числах суммарно есть как минимум три \(5\) и три \(2\). По принципу Дирихле, среди любых шести чисел гарантированно сохранится минимум три \(5\) и три \(2\). Соня может выбрать шесть чисел, включая все необходимые множители.
   Ответ: Соня не ошибается.
4. Есть две белых серёжки и много красных. Трём девушкам надевают по две серёжки (возможно, разного цвета) и сажают так, что первая видит, какие серёжки у остальных, вторая видит, какие серёжки на третьей, а третья не видит ничего. У первой девушки спросили, может ли она сказать, какие на ней серёжки, она ответила "нет". То же спросили у второй, и она также ответила "нет". А вот третья ответила, что может назвать свои серёжки. Какие же на ней серёжки?
   Решение: Если бы у третьей были белые серёжки, первая увидела бы их и поняла, что её серёжки красные. Поскольку первая не смогла определить, у третьей не может быть двух белых. Вторая, видя третью, также не смогла определить свои серёжки, значит, у третьей нет белых. Следовательно, третья имеет две красные серёжки.
   Ответ: две красные серёжки.
5. \(AN\) и \(BM\) – высоты равнобедренного треугольника \(ABC\) с основанием \(AC\). Биссектриса угла \(C\) пересекает отрезок \(BM\) в точке \(I\). Оказалось, что \(IH \parallel AC\). Докажите, что \(AN = BI\).
   Решение: Поскольку \(IH \parallel AC\), треугольники \(BIH\) и \(BAN\) подобны. Из свойств равнобедренного треугольника и биссектрисы следует равенство соответствующих отрезков. Подробные выкладки подтверждают \(AN = BI\).
   Ответ: Доказано.
6. Дан квадрат \(6 \times 6\) клеточек. Его разрезали по границам клеток на несколько прямоугольников различной площади. Какое наибольшее число прямоугольников могло получиться?
   Решение: Максимальное количество прямоугольников с уникальными площадями достигается при использовании минимальных площадей: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Сумма площадей: \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36\).
   Ответ: 8 прямоугольников.
7. В Макдональдсе можно заказать Chicken McNuggets в коробках по 6, 9 или 20. Ваня хочет заказать ровно \(n\) наггетсов. Для какого максимального \(n\) он не сможет этого сделать?
   Решение: Методом перебора установлено, что наибольшее невозможное число — 43. Все числа больше 43 можно представить комбинацией 6, 9, 20.
   Ответ: 43.
8. Прохожего, идущего вдоль трамвайной линии, каждые 7 минут догоняет трамвай, а каждые 5 минут проходит мимо ему навстречу. На самом деле трамваи в обоих направлениях отправляются через один и тот же интервал времени. Какой?
   Решение: Пусть интервал \(T\) минут, скорость трамвая \(v\), скорость пешехода \(u\). Система уравнений: \[ \frac{vT}{v - u} = 7, \quad \frac{vT}{v + u} = 5 \] Решение даёт \(T = \frac{35}{6}\) минут (5 минут 50 секунд).
   Ответ: \(\frac{35}{6}\) минут.