Гимназия №1543 из 7 в 8 класс 2020 год

ЛИЦЕЙ №1543

2020 год

11.06.2020

1. Вычислите: \[ 1658 \cdot 79 + 79 \cdot 362 \]
   
   
2. Решите задачу с пояснениями. Требуется изготовить 480 деталей. На пяти одинаковых старых станках это можно сделать за сутки непрерывной работы. На одном старом и одном новом — за двое суток. За сколько часов можно изготовить 480 деталей на двух новых станках?
   
   
3. Решите задачу с пояснениями. Прямоугольный торт разрезали на два куска: прямоугольный для Карлсона и квадратный для Малыша. Кусок Малыша имеет площадь на 6 см² меньше, чем у Карлсона, а периметр — на 4 см меньше. Найдите площадь торта.
   
   
4. Решите задачу с пояснениями. Пёс бегает в 2 раза быстрее Кота и в 4 раза быстрее Осла. Все трое одновременно побежали от двора к цветочной поляне. Пёс оказался на поляне на 10 минут раньше Кота. А на сколько минут Пёс опередил Осла?
   
   
5. Решите задачу с пояснениями. Воробьи сидели в ряд на проводе. Прилетели стрижи и сели по одному между каждым двумя соседними воробьями. Потом прилетели ласточки и уселись по две между каждыми соседними воробьями и стрижом. Теперь на проводе 1543 птицы. Сколько среди них воробьёв?
   
   
6. Решите задачу и дайте только ответ, пояснения не нужны. Используя все девять карточек: \[ \boxed{1} \quad \boxed{2} \quad \boxed{3} \quad \boxed{4} \quad \boxed{5} \quad \boxed{6} \quad \boxed{7} \quad \boxed{8} \quad \boxed{9} \] расставьте знаки \(+\), \(–\) и скобки так, чтобы примеры получились равными по сложению.
   
   
7. Решите задачу и дайте только ответ, пояснения не нужны. Начертите шесть отрезков так, чтобы каждый пересекал ровно два других.

Решения задач

1. Вычислите: $1658 \cdot 79 + 79 \cdot 362$
   Решение: Вынесем общий множитель 79:
   $79 \cdot (1658 + 362) = 79 \cdot 2020 = 79 \cdot 2000 + 79 \cdot 20 = 158000 + 1580 = 159580$
   Ответ: 159580.
2. Требуется изготовить 480 деталей. На пяти одинаковых старых станках это можно сделать за сутки непрерывной работы. На одном старом и одном новом — за двое суток. За сколько часов можно изготовить 480 деталей на двух новых станках?
   Решение: Производительность пяти старых стан
   
   $\frac{480}{24} = 20$ деталей/час $\Rightarrow$ один старый станок: $\frac{20}{5} = 4$ детали/час.
   Производительность старого и нового станка вместе:
   $\frac{480}{48} = 10$ деталей/час $\Rightarrow$ новый станок: $10 - 4 = 6$ деталей/час.
   Два новых станка: $6 \cdot 2 = 12$ деталей/час $\Rightarrow$ время: $\frac{480}{12} = 40$ часов.
   Ответ: 40 часов.
3. Прямоугольный торт разрезали на два куска: прямоугольный для Карлсона и квадратный для Малыша. Кусок Малыша имеет площадь на 6 см² меньше, чем у Карлсона, а периметр — на 4 см меньше. Найдите площадь торта.
   Решение: Пусть сторона квадрата $x$ см. Тогда:
   Площадь Карлсона: $x^2 + 6$ см².
   Периметр Карлсона: $2(a + b) = 4x + 4$ см.
   Решая систему уравнений для сторон прямоугольника Карлсона $a = x + 2$, $b = x$, получаем:
   $(x + 2) \cdot x = x^2 + 6 \Rightarrow x = 3$ см.
   Площадь торта: $3^2 + (3 + 2) \cdot 3 = 9 + 15 = 24$ см².
   Ответ: 24 см².
4. Пёс бегает в 2 раза быстрее Кота и в 4 раза быстрее Осла. Все трое одновременно побежали от двора к цветочной поляне. Пёс оказался на поляне на 10 минут раньше Кота. А на сколько минут Пёс опередил Осла?
   Решение: Пусть скорость Пса $2v$, Кота $v$, Осла $0.5v$. Расстояние $S$:
   Разница времени Пса и Кота: $\frac{S}{v} - \frac{S}{2v} = \frac{S}{2v} = 10$ мин $\Rightarrow \frac{S}{v} = 20$ мин.
   Время Осла: $\frac{S}{0.5v} = 40$ мин $\Rightarrow$ разница: $40 - 10 = 30$ мин.
   Ответ: 30 минут.
5. Воробьи сидели в ряд на проводе. Прилетели стрижи и сели по одному между каждым двумя соседними воробьями. Потом прилетели ласточки и уселись по две между каждыми соседними воробьями и стрижом. Теперь на проводе 1543 птицы. Сколько среди них воробьёв?
   Решение: Пусть воробьёв $N$. Тогда:
   Стрижей: $N - 1$, ласточек: $2(2N - 2)$.
   Общее количество: $N + (N - 1) + 4N - 4 = 6N - 5 = 1543 \Rightarrow N = 258$.
   Ответ: 258.
6. Используя все девять карточек: \[ \boxed{1} \quad \boxed{2} \quad \boxed{3} \quad \boxed{4} \quad \boxed{5} \quad \boxed{6} \quad \boxed{7} \quad \boxed{8} \quad \boxed{9} \] расставьте знаки \(+\), \(–\) и скобки так, чтобы примеры получились равными по сложению.
   Ответ: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45$.
7. Начертите шесть отрезков так, чтобы каждый пересекал ровно два других.
   Ответ: Шесть отрезков образуют гексаграмму (звезду Давида), где каждый пересекает два других.