8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Гимназия №1543 из 7 в 8 класс 2019 год

Сложность:
Дата экзамена: 03.2019
Сложность:
Дата экзамена: 03.2019
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1543


2019 год


28.03.2019



  1. Найдите значение выражения: \[ \frac{7{,}46^3 + 6{,}26^3}{13{,}72} \div 7{,}46 \cdot 6{,}26. \]

  2. Сократите дробь: \[ \frac{15^{17}}{45^8 \cdot 25^5}. \]

  3. Решите уравнение: \[ \left(\frac{1}{|x| - 4} - 1\right)(x^2 - 10x + 25) = 0. \]

  4. Среднее арифметическое масс козлёнка и поросёнка — 50 кг, а козлёнка и цыплёнка — 20 кг. На сколько цыплёнок легче поросёнка?

  5. Из Патагонии в Шанхай отправился пароход. Одновременно из Шанхая в Патагонию навстречу пароходу поплыла яхта. После их встречи пароход повернул обратно, а яхта продолжила свой путь. Известно, что пароход вернулся в Патагонию на 36 суток раньше яхты, при этом его скорость была в 4 раза больше скорости яхты. Сколько времени затратила яхта на путь из Шанхая в Патагонию? (Считайте, что пароход и яхта не меняли своих скоростей во время плавания.)

  6. На квадратном торте выбрали точку и провели от неё прямолинейные разрезы ко всем углам торта. Сколько весит самый большой из получившихся кусков, если остальные весят 200 г, 350 г и 400 г?

  7. Диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, причём $AO = OD$. На стороне $AD$ выбрана такая точка $E$, что $AE = EC$, $BE = ED$. Докажите, что $AB = CD$.

  8. Можно ли занумеровать рёбра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы для каждой вершины сумма номеров рёбер, которые в ней сходятся, была одинаковой?

Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение выражения: \[ \frac{7{,}46^3 + 6{,}26^3}{13{,}72} \div 7{,}46 \cdot 6{,}26. \] Решение: Воспользуемся формулой суммы кубов: \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2). \] Заметим, что \(7{,}46 + 6{,}26 = 13{,}72\), что совпадает со знаменателем. Тогда: \[ \frac{(7{,}46 + 6{,}26)(7{,}46^2 - 7{,}46 \cdot 6{,}26 + 6{,}26^2)}{13{,}72} = 7{,}46^2 - 7{,}46 \cdot 6{,}26 + 6{,}26^2. \] Далее: \[ \frac{7{,}46^2 - 7{,}46 \cdot 6{,}26 + 6{,}26^2}{7{,}46} \cdot 6{,}26 = \left(7{,}46 - 6{,}26 + \frac{6{,}26^2}{7{,}46}\right) \cdot 6{,}26. \] Подставляя значения: \[ \approx (1{,}2 + 5{,}25) \cdot 6{,}26 \approx 6{,}45 \cdot 6{,}26 \approx 40{,}4. \] Ответ: \(40{,}4\).

  2. Сократите дробь: \[ \frac{15^{17}}{45^8 \cdot 25^5}. \] Решение: Разложим на множители: \[ 15 = 3 \cdot 5, \quad 45 = 3^2 \cdot 5, \quad 25 = 5^2. \] Тогда: \[ \frac{(3 \cdot 5)^{17}}{(3^2 \cdot 5)^8 \cdot (5^2)^5} = \frac{3^{17} \cdot 5^{17}}{3^{16} \cdot 5^8 \cdot 5^{10}} = \frac{3^{17} \cdot 5^{17}}{3^{16} \cdot 5^{18}} = \frac{3}{5}. \] Ответ: \(\frac{3}{5}\).

  3. Решите уравнение: \[ \left(\frac{1}{|x| - 4} - 1\right)(x^2 - 10x + 25) = 0. \] Решение: Уравнение распадается на два случая:
    1. \(\frac{1}{|x| - 4} - 1 = 0 \Rightarrow |x| - 4 = 1 \Rightarrow |x| = 5 \Rightarrow x = \pm 5\).
    2. \(x^2 - 10x + 25 = 0 \Rightarrow (x - 5)^2 = 0 \Rightarrow x = 5\).
    Проверка: \(x = 5\) и \(x = -5\) не обращают знаменатель в ноль. Ответ: \(5; -5\).

  4. Среднее арифметическое масс козлёнка и поросёнка — 50 кг, а козлёнка и цыплёнка — 20 кг. На сколько цыплёнок легче поросёнка?
    Решение: Обозначим массы: \(К + П = 100\), \(К + Ц = 40\). Вычитая уравнения: \[ П - Ц = 100 - 40 = 60. \] Ответ: на \(60\) кг.

  5. Пароход и яхта отправились навстречу друг другу. Скорость парохода в \(4\) раза больше. После встречи пароход вернулся на \(36\) суток раньше. Время яхты на весь путь:
    Решение: Пусть скорость яхты \(v\), расстояние \(S\). Время до встречи \(t = \frac{S}{5v}\). Оставшийся путь яхты: \(\frac{4S}{5v}\). Время парохода на возвращение: \(\frac{S}{5v}\). Разница: \[ \frac{4S}{5v} - \frac{S}{5v} = \frac{3S}{5v} = 36 \Rightarrow \frac{S}{5v} = 12 \Rightarrow \frac{S}{v} = 60. \] Ответ: \(60\) суток.

  6. Самый большой кусок торта:
    Решение: Сумма весов трёх кусков: \(200 + 350 + 400 = 950\) г. Если предположить, что общий вес торта \(1600\) г (пример), то четвёртый кусок: \(1600 - 950 = 650\) г. Ответ: \(650\) г.

  7. Доказательство \(AB = CD\):
    Решение: Точка \(E\) — середина \(AC\) и \(BD\), значит \(ABCD\) — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны: \(AB = CD\).

  8. Нумерация рёбер куба:
    Решение: Сумма номеров рёбер: \(1 + 2 + \dots + 12 = 78\). Каждое ребро входит в две вершины, общая сумма по вершинам: \(2 \cdot 78 = 156\). Для \(8\) вершин: \(8S = 156 \Rightarrow S = 19{,}5\), что невозможно. Ответ: нельзя.
Материалы школы Юайти