Лицей при РАНХИГС из 7 в 8 класс 2019 год

$$ \begin{array}{l} \begin{array}{c} \Large{\text{ЛИЦЕЙ ПРИ РАНХИГС}} \\[0.3em] \large{\text{2019 год}} \\[0.3em] \large{\text{Оценивание}} \end{array} \\[1em] \text{1. В квадратных скобках указаны баллы за выполненное задание.} \\ \text{2. Максимальный балл — 25.} \\ \text{3. Минимальный балл для базового уровня — 5.} \\ \text{4. Минимальный балл для профильного уровня — 10.} \\[1em] \large{\text{Задания}} \\[0.5em] \text{1. Найдите значение выражения:} \\ \text{(a)}\ \dfrac{1}{0.42 \div \dfrac{3}{10}} \quad [1] \\ \text{(b)}\ \dfrac{a^6 \cdot b}{(5a)^2 \cdot b^{-2}} \cdot \dfrac{125}{a^4 \cdot b^3} \quad [1] \\ \text{(c)}\ \dfrac{a^2 - b^2 - (a - b)^2}{b^2 - ab} \quad [1] \\[1em] \text{2. Диаметр описанной окружности квадрата равен } 4\sqrt{2}. \\ \text{Найдите сторону квадрата.} \\[1em] \text{3. Решите уравнение:} \\ \text{(a)}\ x^2 = x \quad [2] \\ \text{(b)}\ (x - 3)^2 = 16 \quad [2] \\[1em] \text{4. Решите неравенство:} \\ \text{(a)}\ \dfrac{1}{x} > 1 \quad [2] \\ \text{(b)}\ \dfrac{10x + 15 - (x + 4)^2}{x^2 - 2x - 8} \leq 0 \quad [3] \\[1em] \text{5. В прямоугольном треугольнике ABC:} \\ \text{O — середина гипотенузы AB, угол B = } 30^\circ. \\ \text{(a) Докажите, что треугольник AOC — равносторонний.} \\ \text{(b) OH — высота к катету BC, BH = } 5\sqrt{3}. \text{ Найдите AB.} \\[1em] \text{6. [4 балла] Мяч подбросили вверх. Движение описывается:} \\ h(t) = 6t - 0.75t^2 \\ \text{где } h \text{ — высота в м, } t \text{ — время в с. Найдите наибольшую высоту.} \\[1em] \text{7. [4 балла] Круг разделён на 12 секторов с углами в арифм. прогрессии.} \\ \text{Наименьший сектор на } 10^\circ \text{ меньше наибольшего.} \\ \text{Найдите величину наименьшего сектора.} \end{array} $$

Решения задач

1. 1. Найдите значение выражения: $\frac{1}{0,42 : \frac{3}{10}}$ Решение:
      $\frac{1}{0,42 : \frac{3}{10}} = \frac{1}{0,42 \cdot \frac{10}{3}} = \frac{1}{1,4} = \frac{5}{7}$
      Ответ: $\frac{5}{7}$.
      
      
   2. Найдите значение выражения: $\frac{a^{6} \cdot b}{(5 a)^{2} \cdot b^{-2}} \cdot \frac{125}{a^{4} \cdot b^{3}}$ Решение:
      $\frac{a^{6} \cdot b}{25a^{2} \cdot b^{-2}} \cdot \frac{125}{a^{4} \cdot b^{3}} = \frac{a^{6}}{25a^{2} \cdot a^{4}} \cdot \frac{125}{1} \cdot \frac{b \cdot b^{2}}{b^{3}} = \frac{a^{0}}{25} \cdot 125 \cdot b^{0} = 5$
      Ответ: 5.
      
      
   3. Найдите значение выражения: $\frac{a^{2}-b^{2}-(a-b)^{2}}{b^{2}-a b}$ Решение:
      $\frac{a^{2} - b^{2} - (a^{2} - 2ab + b^{2})}{b(b - a)} = \frac{a^{2} - b^{2} - a^{2} + 2ab - b^{2}}{b(b - a)} = \frac{2ab - 2b^{2}}{b(b - a)} = \frac{-2b(a - b)}{b(a - b)} = -2$
      Ответ: $-2$.
   
   
   
2. Диаметр окружности, описанной вокруг квадрата, равен $4 \sqrt{2}$. Найдите сторону квадрата. Решение: Диагональ квадрата равна диаметру описанной окружности: $d = a\sqrt{2}$, где $a$ — сторона квадрата.
   Получаем: $a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \Rightarrow a = 4$
   Ответ: 4.
   
   
3. Решите уравнение:
   1. $x^{2}=x$ Решение:
      $x^{2} - x = 0$
      $x(x - 1) = 0$
      $x = 0$ или $x = 1$
      Ответ: 0; 1.
      
      
   2. $(x-3)^{2}=16$ Решение:
      $(x - 3)^{2} = 16$
      $x - 3 = \pm4$
      $x = 3 \pm4$
      $x = 7$ или $x = -1$
      Ответ: 7; -1.
   
   
   
4. Решите неравенство:
   1. $\frac{1}{x}>1$ Решение: При $x > 0$: $\frac{1}{x} > 1 \Rightarrow 1 > x \Rightarrow x \in (0; 1)$. При $x 1$ не выполняется, так как левая часть отрицательна. Ответ: $(0; 1)$.
      
      
   2. $\frac{10 x+15-(x+4)^{2}}{x^{2}-2 x-8} \leq 0$ Решение:
      Числитель: $10x + 15 - (x^{2} + 8x + 16) = -x^{2} + 2x -1 = -(x - 1)^{2}$
      Знаменатель: $x^{2}-2x-8 = (x - 4)(x + 2)$
      Неравенство: $\frac{-(x - 1)^2}{(x - 4)(x + 2)} \leq 0$
      Знак выражения зависит от знаменателя, так как числитель всегда неположительный ($\leq 0$). Решением будут области, где знаменатель отрицательный или числитель равен нулю: $x \in (-\infty; -2) \cup [1; 4)$
      Ответ: $(-\infty; -2) \cup [1; 4)$.
   
   
   
5. 1. Доказать, что треугольник АОС — равносторонний. Доказательство: В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ медиана $CO$ равна $\frac{AB}{2}$. Угол $B = 30^{\circ}$, значит $AC = \frac{AB}{2}$. Следовательно, $AO = CO = AC = \frac{AB}{2}$, поэтому $\triangle AOC$ равносторонний.
      
      
   2. Найдите $AB$, если $BH = 5\sqrt{3}$. Решение:
      Из $\triangle BOH$, где $OH \perp BC$ и $\angle B = 30^{\circ}$:
      $BH = OH \cdot \cot 30^{\circ} = OH \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$
      $\Rightarrow OH = 5$
      Так как $O$ — середина $AB$, $\triangle OBC$ равнобедренный. Тогда $BC = 2 \cdot OH = 10$.
      Из $\triangle ABC$ с $\angle B = 30^{\circ}$: $AB = 2 \cdot BC = 20$
      Ответ: 20.
   
   
   
6. Мяч достигнет наибольшей высоты в вершине параболы $h(t) = 6t - 0,75t^{2}$
   Вершина: $t = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{-1,5} = 4$ сек.
   Высота: $h(4) = 6 \cdot 4 - 0,75 \cdot 16 = 24 - 12 = 12$ м
   Ответ: 12 метров.
   
   
7. Пусть углы секторов образуют арифметическую прогрессию: $a_{1}, a_{1} + d, ..., a_{1} + 11d$
   По условию: $(a_{1} + 11d) - a_{1} = 10^{\circ} \Rightarrow d = \frac{10}{11}$
   Сумма всех секторов: $\frac{12}{2} \cdot (2a_{1} + 11d) = 360^{\circ}$
   Подставляем $d = \frac{10}{11}$:
   $6(2a_{1} + 10) = 360 \Rightarrow 2a_{1} = 50 \Rightarrow a_{1} = 25^{\circ}$
   Ответ: $25^{\circ}$.