8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №1535 из 8 в 9 класс 2016 год

Сложность:
Дата экзамена: 2016
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1535


2016 год




  1. Никанор спросил у Никодима: «Сколько тебе лет?» Никодим ответил: «Если мой возраст умножить на 2 и отнять 6, то получится $14 !$ » Сколько же лет Никодиму?
  2. На доске написана буква. Каждую минуту Вася проделывает следующее: если на доске была написана гласная, Вася её стирает и записывает вместо неё ближайшую следующую по алфавиту согласную. А если на доске была написана согласная, то Вася её стирает и записывает вместо неё ближайшую следующую по алфавиту гласную. Через 5 минут на доске оказалась буква Ф. Какая буква была написана сначала?
  3. Два ковбоя играли на монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет (отдал второму), потом второй проиграл половину своих, потом снова первый проиграл половину своих. В результате у первого оказалось 75 монет, а у второго - 165. Сколько монет было у первого ковбоя в начале?
  4. Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет (отдал их второму), потом второй проиграл половину своих, потом снова первый проиграл половину своих. В результате у первого оказалось 15 монет, а у второго - 33. По сколько монет было у каждого пирата до начала игры?
  5. На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками отметили ещё по точке. Такое «уплотнение» повторили ещё дважды (всего 3 раза). В результате на прямой оказалось отмечено 113 точек. Сколько точек было отмечено первоначально?
  6. Вдоль прямой дорожки бабушка посадила несколько роз. Внучка увидела и посадила между первой и второй розой - еще розу, между второй и третьей розой - еще 2 розы, между 3 и 4 розой - еще 3 розы и так далее. В результате всего оказалось посажено 2016 роз. Сколько роз посадила бабушка?
  7. Двоечник Федя выставляет по одной шашки на доску 10 на 10. Докажите, что в некоторый момент одна из шашек сможет съесть другую шашку.
  8. Если у Муми-мамы есть мука, то она печет пирог, чтобы испечь пирог, она идет в погреб за вишневым вареньем. Если ей нужно спуститься в погреб, она зовет Муми-тролля принести лестницу. Сегодня никто не пользовался лестницей. Докажите, что в Муми-доме кончилась мука.
  9. В 5-м классе среди любой пары человек есть девочка. Есть ли в классе хотя бы два мальчика?
  10. На столе у Пети стоит коробка с карандашами. В ней лежат 7 жёлтых карандашей и 8 зелёных. Сколько карандашей надо достать Пете, не глядя, чтобы точно нарисовать крокодила?
  11. У Пети в мешке есть 3 красных яблока и 5 зелёных. Он передумал есть яблоки и решил подарить Маше одно красное и одно зелёное яблоко Сколько яблок ему надо вытащить?
  12. у Пети в коробке лежат 20 карандашей - по два карандаша одинакового цвета. Он хочет порисовать вместе с сестрой Варей. Сколько карандашей надо вытащить, не глядя, Пете, чтобы начать рисовать вместе с сестрой одинаковыми карандашами?
  13. В сумке у Пети 3 разных вида конфет. Какое наименьшее количество конфет нужно взять из сумки, не глядя, чтобы наверняка попались 4 конфеты одного вида?
  14. В коробке лежат белые, черные и красные шарики, одинаковые по размеру. Чтобы наверняка вытащить 1 черный шарик, нужно взять наугад 20 шариков. Чтобы вытащить 1 белый, надо взять 18 шариков, а чтобы точно вытянуть 1 красный, надо взять 25 шариков. Сколько всего шариков в коробке? Сколько белых? Сколько черных? Сколько красных?
  15. Прилетели галки, сели на палки. Если на одну палку сядет по одной галке, то одной галке не хватит места, если на каждую палку сядет по 2 галки, то одна палка останется свободной. Сколько было галок, сколько было палок?
  16. В Африке обезьяны нарвали бананов и ананасов и теперь их делят. Если каждая обезьяна возьмет по банану, то одной обезьяне банана не хватит. Если каждая обезьяна возьмет по ананасу, то двум обезьянам ананасов не хватит. Если же каждая возьмет или банан или ананас, то три фрукта останутся лишними. Сколько было обезьян, бананов и ананасов ?
  17. Ученики 4-го класса съели 95 конфет, причем каждый мальчик съел 3 конфеты, а каждая девочка - 5 конфет. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек, если всего в классе 25 человек ?
  18. У бабушки 1000 кроликов и кур. Маша сосчитала, что у них всех вместе 3150 ног. Сколько у бабушки кроликов, а сколько кур?
  19. Незнайка нарисовал три прямые. На каждой из них он отметил три точки. Всего он отметил 6 точек. Как это получилось?
  20. В деревне Простоквашино на скамейке перед домом сидят дядя Федор, кот Матроскин, пес Шарик и почтальон Печкин. Если Шарик, сидящий крайним слева, сядет между Матроскиным и Федором, то дядя Федор окажется крайним слева. Кто где сидит?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Никанор спросил у Никодима: «Сколько тебе лет?» Никодим ответил: «Если мой возраст умножить на 2 и отнять 6, то получится $14 !$ » Сколько же лет Никодиму?
    Решение:
    Пусть возраст Никодима равен $x$ лет. Составим уравнение:
    $2x - 6 = 14$
    $2x = 20$
    $x = 10$
    Ответ: 10.
  2. На доске написана буква. Каждую минуту Вася проделывает следующее: если на доске была написана гласная, Вася её стирает и записывает вместо неё ближайшую следующую по алфавиту согласную. А если на доске была написана согласная, то Вася её стирает и записывает вместо неё ближайшую следующую по алфавиту гласную. Через 5 минут на доске оказалась буква Ф. Какая буква была написана сначала?
    Решение:
    Промоделируем процесс в обратном порядке:
    Минута 5: Ф (согласная) $\Rightarrow$ на 4-й минуте была гласная У.
    Минута 4: У (гласная) $\Rightarrow$ на 3-й минуте была согласная Т.
    Минута 3: Т (согласная) $\Rightarrow$ на 2-й минуте была гласная О.
    Минута 2: О (гласная) $\Rightarrow$ на 1-й минуте была согласная Н.
    Минута 1: Н (согласная) $\Rightarrow$ изначально была гласная И.
    Ответ: И.
  3. Два ковбоя играли на монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет (отдал второму), потом второй проиграл половину своих, потом снова первый проиграл половину своих. В результате у первого оказалось 75 монет, а у второго - 165. Сколько монет было у первого ковбоя в начале?
    Решение:
    Пусть у первого было $x$ монет, у второго — $y$. Составим уравнения:
    После первого проигрыша: первый — $\frac{x}{2}$, второй — $y + \frac{x}{2}$.
    После второго проигрыша: второй — $\frac{y + \frac{x}{2}}{2}$, первый — $\frac{x}{2} + \frac{y + \frac{x}{2}}{2}$.
    После третьего проигрыша: первый — $\frac{3x}{8} + \frac{y}{4} = 75$, второй — $\frac{5x}{8} + \frac{3y}{4} = 165$.
    Решив систему, получим $x = 120$.
    Ответ: 120.
  4. Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет (отдал их второму), потом второй проиграл половину своих, потом снова первый проиграл половину своих. В результате у первого оказалось 15 монет, а у второго - 33. По сколько монет было у каждого пирата до начала игры?
    Решение:
    Аналогично предыдущей задаче, решая систему уравнений, получим:
    У обоих пиратов изначально было по 24 монеты.
    Ответ: 24.
  5. На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками отметили ещё по точке. Такое «уплотнение» повторили ещё дважды (всего 3 раза). В результате на прямой оказалось отмечено 113 точек. Сколько точек было отмечено первоначально?
    Решение:
    После каждого уплотнения количество точек увеличивается по формуле $n_{k+1} = 2n_k - 1$. После трёх уплотнений:
    $8n - 7 = 113 \Rightarrow n = 15$.
    Ответ: 15.
  6. Вдоль прямой дорожки бабушка посадила несколько роз. Внучка увидела и посадила между первой и второй розой - еще розу, между второй и третьей розой - еще 2 розы, между 3 и 4 розой - еще 3 розы и так далее. В результате всего оказалось посажено 2016 роз. Сколько роз посадила бабушка?
    Решение:
    Пусть бабушка посадила $k$ роз. Общее количество роз:
    $\frac{k(k + 1)}{2} = 2016 \Rightarrow k = 63$.
    Ответ: 63.
  7. Двоечник Федя выставляет по одной шашки на доску 10 на 10. Докажите, что в некоторый момент одна из шашек сможет съесть другую шашку.
    Решение:
    Максимальное количество шашек без взаимного боя — 50 (все клетки одного цвета). При выставлении 51-й шашки она попадает на клетку другого цвета, что создаёт возможность боя.
  8. Если у Муми-мамы есть мука, то она печет пирог, чтобы испечь пирог, она идет в погреб за вишневым вареньем. Если ей нужно спуститься в погреб, она зовет Муми-тролля принести лестницу. Сегодня никто не пользовался лестницей. Докажите, что в Муми-доме кончилась мука.
    Решение:
    Отсутствие использования лестницы $\Rightarrow$ Муми-мама не ходила в погреб $\Rightarrow$ не пекла пирог $\Rightarrow$ муки нет.
  9. В 5-м классе среди любой пары человек есть девочка. Есть ли в классе хотя бы два мальчика?
    Ответ: Нет. Наличие двух мальчиков создало бы пару без девочки.
  10. На столе у Пети стоит коробка с карандашами. В ней лежат 7 жёлтых карандашей и 8 зелёных. Сколько карандашей надо достать Пете, не глядя, чтобы точно нарисовать крокодила?
    Решение:
    Наихудший случай: сначала все 7 жёлтых. Тогда 8-й карандаш гарантированно зелёный.
    Ответ: 8.
  11. У Пети в мешке есть 3 красных яблока и 5 зелёных. Он передумал есть яблоки и решил подарить Маше одно красное и одно зелёное яблоко Сколько яблок ему надо вытащить?
    Решение:
    Наихудший случай: сначала все 5 зелёных. Тогда 6-е яблоко гарантированно красное.
    Ответ: 6.
  12. У Пети в коробке лежат 20 карандашей - по два карандаша одинакового цвета. Он хочет порисовать вместе с сестрой Варей. Сколько карандашей надо вытащить, не глядя, Пете, чтобы начать рисовать вместе с сестрой одинаковыми карандашами?
    Решение:
    Максимальное число различных цветов — 10. Для гарантии двух одинаковых: $10 + 1 = 11$.
    Ответ: 11.
  13. В сумке у Пети 3 разных вида конфет. Какое наименьшее количество конфет нужно взять из сумки, не глядя, чтобы наверняка попались 4 конфеты одного вида?
    Решение:
    Наихудший случай: по 3 конфеты каждого вида. Тогда следующая конфета даст четвёртую.
    Ответ: 10.
  14. В коробке лежат белые, черные и красные шарики, одинаковые по размеру. Чтобы наверняка вытащить 1 черный шарик, нужно взять наугад 20 шариков. Чтобы вытащить 1 белый, надо взять 18 шариков, а чтобы точно вытянуть 1 красный, надо взять 25 шариков. Сколько всего шариков в коробке? Сколько белых? Сколько черных? Сколько красных?
    Решение:
    Система уравнений:
    Белые + Красные = 19, Черные + Красные = 17, Белые + Черные = 24.
    Решение: Белых — 13, Черных — 11, Красных — 6. Всего — 30.
    Ответ: 30 шариков (13 белых, 11 черных, 6 красных).
  15. Прилетели галки, сели на палки. Если на одну палку сядет по одной галке, то одной галке не хватит места, если на каждую палку сядет по 2 галки, то одна палка останется свободной. Сколько было галок, сколько было палок?
    Решение:
    Уравнения: $г = п + 1$, $г = 2(п - 1)$. Решение: $п = 3$, $г = 4$.
    Ответ: 4 галки, 3 палки.
  16. В Африке обезьяны нарвали бананов и ананасов и теперь их делят. Если каждая обезьяна возьмет по банану, то одной обезьяне банана не хватит. Если каждая обезьяна возьмет по ананасу, то двум обезьянам ананасов не хватит. Если же каждая возьмет или банан или ананас, то три фрукта останутся лишними. Сколько было обезьян, бананов и ананасов ?
    Решение:
    Уравнения: $б = м - 1$, $а = м - 2$, $б + а - м = 3$. Решение: $м = 6$, $б = 5$, $а = 4$.
    Ответ: 6 обезьян, 5 бананов, 4 ананаса.
  17. Ученики 4-го класса съели 95 конфет, причем каждый мальчик съел 3 конфеты, а каждая девочка - 5 конфет. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек, если всего в классе 25 человек ?
    Решение:
    Система: $м + д = 25$, $3м + 5д = 95$. Решение: $м = 15$, $д = 10$.
    Ответ: 15 мальчиков, 10 девочек.
  18. У бабушки 1000 кроликов и кур. Маша сосчитала, что у них всех вместе 3150 ног. Сколько у бабушки кроликов, а сколько кур?
    Решение:
    Система: $кр + кур = 1000$, $4кр + 2кур = 3150$. Решение: $кр = 575$, $кур = 425$.
    Ответ: 575 кроликов, 425 кур.
  19. Незнайка нарисовал три прямые. На каждой из них он отметил три точки. Всего он отметил 6 точек. Как это получилось?
    Решение:
    Три прямые пересекаются попарно в трёх различных точках. Каждая прямая содержит две точки пересечения и одну дополнительную точку, не лежащую на других прямых. Всего точек: 3 пересечения + 3 дополнительные = 6.
  20. В деревне Простоквашино на скамейке перед домом сидят дядя Федор, кот Матроскин, пес Шарик и почтальон Печкин. Если Шарик, сидящий крайним слева, сядет между Матроскиным и Федором, то дядя Федор окажется крайним слева. Кто где сидит?
    Решение:
    Исходный порядок: Шарик (крайний слева), дядя Фёдор, Матроскин, Печкин. После перемещения Шарика между Матроскиным и Фёдором порядок станет: Фёдор, Шарик, Матроскин, Печкин.
    Ответ: Шарик, Дядя Фёдор, Матроскин, Печкин.
Материалы школы Юайти