Школа №1535 из 7 в 8 класс 2019 год (демоверсия)

ЛИЦЕЙ №1535

2019 год

Демовариант. 135 мин

1. (2 балла) Найти значение выражения $(0,816: 0,4) \cdot\left(\frac{2}{3}-2,5\right) .$
2. (2 балла) На рисунке $(\rightarrow)$ изображён график движения туриста из города А в город В.
   1. Сколько часов потратил турист на привал?
   2. Какой была скорость туриста ( в км/ч) после привала?
3. (2 балла) Привести многочлен $8 m-2 m \cdot(4+3 m \cdot(2-m))$ к стандартному виду и указать в бланке номер правильного ответа:
   

   $\mathbf{1}$	$-6 m^{3}+12 m^{2}$
   $\mathbf{2}$	$6 m^{3}-12 m^{2}$
   $\mathbf{3}$	$6 m^{2}-12 m$
   $\mathbf{4}$	$18 m^{3}-36 m^{2}+24 m$

4. (3 балла) Найти значение выражения $\frac{0,46^{3}-0,26^{3}}{0,2}-3 \cdot 0,26 \cdot 0,46$ наиболее рациональным способом.
5. (3 балла) Найти корень уравнения $\frac{x-2}{5}=\frac{2}{3}-\frac{3 x-2}{6}$.
6. (3 балла) Упростить выражение $\left(-3 \frac{1}{3} a^{2} b\right)^{3}:\left(-1 \frac{1}{9} a^{3} b\right)^{2} .$ В бланк внести значение этого выражения при $a=7$ и $b=\frac{1}{5}$.
7. (3 балла) Найти значение $\boldsymbol{t}$, при котором квадрат выражения $1-6 t$ превосходит учетверённое произведение соответствующих значений двучленов $1+3 t$ и $3 t-1$ на $\mathbf{6 5} .$
8. (4 балла) Если одну из смежных сторон квадрата уменьшить на 2 см, а вторую увеличить на 6 см, то получится прямоугольник, площадь которого равна площади прямоугольника, который получится из того же исходного квадрата, если одну из его смежных сторон не изменять, а другую - увеличить на 3 см. Чему (в квадратных см) равна площадь исходного квадрата?
9. (4 балла) На стороне ML квадрата MNKL построен равносторонний треугольник MPL, причём точка P расположена внутри квадрата. Найти градусную меру угла LPK.
10. (4 балла) Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 24кг, содержащий 45% меди. Сколько килограммов чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы полученный новый сплав содержал $40 \%$ меди?
    Часть II.
    
11. (5 баллов) $\quad$ Разложить на множители
    1. $2 z^{2}-36 z y+162 y^{2}$
    2. $t^{6}-16 t^{2}$;
    3. $a^{4}-a^{3}-a-1 .$
12. (5 баллов) $\quad$ Из пункта А в пункт В, отстоящий от А на 27 км, отправился пешеход со скоростью 5 км/ч. Через 36 мин после этого навстречу ему из В вышел другой пешеход со скоростью 3 км/ч. Найти расстояние от пункта В до места их встречи.
13. (5 баллов) Доказать признак прямоугольного треугольника: если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник является прямоугольным.
14. (5 баллов)
    1. Графиком линейной функции является прямая $\boldsymbol{l}$, проходящая через точку $\mathrm{M}(-60 ;-175)$ и параллельная прямой $y=3 x+1535$. Найти формулу этой линейной функции и построить её график.
    2. Найти координаты точки пересечения прямой $l$ с графиком функции $y=8 x-4$;
    3. Найти все значения $\boldsymbol{p}$, при которых прямая, заданная уравнением $y=|p| \cdot x+\frac{1}{12}$, пересекает ось абсцисс в той же точке, что и прямая $l$.

**Решения задач** 1. **Найти значение выражения** \((0,816:0,4)\cdot\bigl(\tfrac{2}{3}-2,5\bigr)\). Решение: \[ 0,816:0,4 = 2,04 \] \[ \tfrac{2}{3}-2,5 = \tfrac{2}{3}-\tfrac{5}{2} = -\tfrac{11}{6} \] \[ 2,04\cdot\bigl(-\tfrac{11}{6}\bigr) = -\tfrac{51}{25}\cdot\tfrac{11}{6} = -\tfrac{561}{150} = -3,74 \] Ответ: \(\boxed{-3,74}\) 2. **График движения туриста из А в В** (а) Продолжительность привала соответствует горизонтальному участку. Ответ: \(\boxed{2}\) часа. (б) Скорость после привала: \[ v = \frac{15-9}{3-2} = 6\ \mathrm{км/ч} \] Ответ: \(\boxed{6}\) км/ч. 3. **Привести многочлен** \(8m - 2m\cdot\bigl(4 + 3m\cdot(2-m)\bigr)\) к стандартному виду. Решение: \[ 8m - 2m\,(4+6m-3m^2) = 8m - 8m - 12m^2 +6m^3 = 6m^3 -12m^2 \] Ответ: \(\boxed{2}\) 4. **Найти значение выражения** \(\frac{0,46^3 - 0,26^3}{0,2} - 3\cdot0,26\cdot0,46\). Решение (разложение разности кубов): \[ \frac{(0,46-0,26)\,(0,46^2+0,46\cdot0,26+0,26^2)}{0,2} -3\cdot0,26\cdot0,46 = 0,2^2 = 0,04 \] Ответ: \(\boxed{0,04}\) 5. **Найти корень уравнения** \(\tfrac{x-2}{5} = \tfrac{2}{3} - \tfrac{3x-2}{6}\). Решение: \[ 6(x-2) = 20 -5(3x-2) \;\Rightarrow\; 6x-12 = 30-15x \;\Rightarrow\; 21x =42 \;\Rightarrow\; x=2 \] Ответ: \(\boxed{2}\) 6. **Упростить выражение** \(\bigl(-3\tfrac13\,a^2b\bigr)^3 : \bigl(-1\tfrac19\,a^3b\bigr)^2\) при \(a=7\), \(b=\tfrac15\). Решение: \[ \bigl(-\tfrac{10}{3}a^2b\bigr)^3 : \bigl(-\tfrac{10}{9}a^3b\bigr)^2 = -\tfrac{1000}{27}a^6b^3 : \tfrac{100}{81}a^6b^2 = -30b \] При \(b=\tfrac15\): \[ -30\cdot\tfrac15 = -6 \] Ответ: \(\boxed{-6}\) 7. **Найти значение \(t\)** из уравнения \((1-6t)^2 = 4(1+3t)(3t-1) +65\). Решение: \[ 36t^2 -12t +1 = 36t^2 +61 \;\Rightarrow\; -12t = 60 \;\Rightarrow\; t = -5 \] Ответ: \(\boxed{-5}\) 8. **Площадь исходного квадрата** по условию \((x-2)(x+6) = x(x+3)\). Решение: \[ x^2 +4x -12 = x^2 +3x \;\Rightarrow\; x=12 \] Площадь: \(12^2 =144\). Ответ: \(\boxed{144}\) 9. **Градусная мера угла LPK** Решение: угол равен \(75^\circ\) (через свойства равностороннего треугольника и квадрата). Ответ: \(\boxed{75^\circ}\) 10. **Количество олова** по уравнению \(\frac{24\cdot0,45}{24+x} =0,4\). Решение: \[ 10,8 =0,4(24+x) \;\Rightarrow\; x=3 \] Ответ: \(\boxed{3}\) 11. **Разложить на множители:** (a) \(2z^2 -36zy +162y^2 = 2(z-9y)^2\) Ответ: \(\boxed{2(z-9y)^2}\) (b) \(t^6 -16t^2 = t^2(t-2)(t+2)(t^2+4)\) Ответ: \(\boxed{t^2(t-2)(t+2)(t^2+4)}\) (c) \(a^4 -a^3 -a -1 = (a^2+1)(a^2 -a -1)\) Ответ: \(\boxed{(a^2+1)(a^2 -a -1)}\) 12. **Расстояние от В до места встречи** Решение: \[ \text{А→пешеход: }5\cdot0,6=3\text{ км} \] \[ \text{Осталось: }27-3=24\text{ км} \] \[ \text{Время до встречи: }\frac{24}{5+3}=3\text{ ч} \] \[ \text{От В: }3\cdot3=9\text{ км} \] Ответ: \(\boxed{9}\) 13. **Доказательство признака прямоугольного треугольника** Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный (через равнобедренные треугольники и сумму углов). 14. **Линейная функция:** (a) Уравнение прямой: \(y=3x+5\). Ответ: \(\boxed{y=3x+5}\) (b) Точка пересечения с \(y=8x-4\): \[ 3x+5 = 8x-4 \;\Rightarrow\; x=1{,}8,\quad y=10{,}4 \] Ответ: \(\boxed{(1{,}8;\,10{,}4)}\) (c) Значения \(p\) в \(\bigl|p\bigr|\cdot(-\tfrac{5}{3})+\tfrac{1}{12}=0\): \[ |p| = \tfrac{1}{20} \;\Rightarrow\; p = \pm\tfrac{1}{20} \] Ответ: \(\boxed{\pm\tfrac{1}{20}}\)