8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №1535 из 7 в 8 класс 2015 год

Сложность:
Дата экзамена: 2015
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1535


2015 год


Вариант 080114

Часть I.

  1. (2 балла).Не выполняя построения графиков функций $\mathbf{y}=\mathbf{4 x}-\mathbf{5}$ и $\mathrm{y}=-3 \mathrm{x}+44$ найдите ординату точки их пересечения.
  2. (3 балла). Найдите значение выражения $$ \frac{0,7^{3} \cdot 0,7^{4}}{0,49 \cdot 0,7^{5}} $$
  3. (3 балла). Найти значение выражения: $$ 2 \frac{5}{18}+4 \frac{1}{6} \cdot(0,625-1,64: 1,6) $$
  4. (3 балла). Упростите выражение : $$ \left(-3 a^{6} B^{2} c^{4}\right)^{7} \cdot\left(-\frac{1}{3} a^{4} B^{2} c^{3}\right)^{5} $$
  5. (4 балла). Упростите выражение : $$ 4(2 x-1)^{2}-(3 x-4) \cdot(3 x+5) $$
  6. (4 балла). Найдите значение алгебраического выражения : $$ 4 a\left(3 a^{2}-a B^{2}-B^{3}\right)-6 a\left(2 a^{2}+a B^{2}-\frac{2}{3} B^{3}\right), a=-\frac{12}{17}, B=\frac{5}{12} $$
  7. (4 балла). Решите уравнение: $$ \frac{2 x-1}{15}-\frac{2+x}{5}+\frac{3 x-2}{2}=1-x $$
  8. (4 балла). Вычислить: $\frac{2,45^{2}+4,9 \cdot 3,55+3,55^{2}}{4,23^{2}-4,23 \cdot 2,46+1,23^{2}}$
  9. (4 балла). Решите задачу: Смешав некоторое количество $20 \%$-ного и $70 \%$-ного растворов соляной кислоты получили 25 литров $60 \%$ ного раствора кислоты. Сколько литров соляной кислоты с концентрацией 20 % было взято?
    Часть II.
  10. (6 баллов). Разложите на множители:
    1. $3 c^{2} x-30 c x+300 x$
    2. $2 \mathrm{x}^{3}-3 \mathrm{x}^{2}-50 \mathrm{x}+75$
    3. $70 \mathrm{x}+25-36 \mathrm{y}^{2}+49 \mathrm{x}^{2}$
  11. (6 баллов). Решите задачу: Пассажирский поезд должен пройти с постоянной скоростью 50 км/ч расстояние между станциями. Когда он прошел половину пути, то был задержан у семафора на 12 мин, а затем, чтобы приехать вовремя машинист увеличил скорость поезда на 10 км/ч. Какое расстояние между станциями?
  12. (7 баллов). Из равенства $\mathrm{y}-(1-\mathrm{x})=-2(\mathrm{x}-2)$ выразите у и постройте график полученной функции.
    1. Найдите ординату точки графика этой функции, абсцисса которой равна $42 .$
    2. Напишите уравнение линейной функции, параллельной прямой $\mathrm{y}=-\frac{1}{21} \mathrm{x}+7$ и проходящей через точку из пункта б.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
  1. Задача. Не выполняя построения графиков функций $y=4x-5$ и $y=-3x+44$, найдите ординату точки их пересечения.
    Решение. В точке пересечения значения $y$ равны, поэтому $4x-5=-3x+44$. Тогда $7x=49$, откуда $x=7$. Подставим в $y=4x-5$: $y=4\cdot 7-5=23$.
    Ответ. $23$.
  2. Задача. Найдите значение выражения $\frac{0{,}7^{3}\cdot 0{,}7^{4}}{0{,}49\cdot 0{,}7^{5}}$.
    Решение. В числителе $0{,}7^{3}\cdot 0{,}7^{4}=0{,}7^{7}$. Заметим, что $0{,}49=0{,}7^{2}$, поэтому знаменатель равен $0{,}7^{2}\cdot 0{,}7^{5}=0{,}7^{7}$. Тогда значение дроби равно $\frac{0{,}7^{7}}{0{,}7^{7}}=1$.
    Ответ. $1$.
  3. Задача. Найдите значение выражения $2\frac{5}{18}+4\frac{1}{6}\cdot\left(0{,}625-1{,}64:1{,}6\right)$.
    Решение. Представим десятичные дроби как обыкновенные: $0{,}625=\frac{5}{8}$, а $1{,}64:1{,}6=\frac{1{,}64}{1{,}6}=\frac{164}{100}\cdot\frac{10}{16}=\frac{41}{40}$. Тогда \[ 0{,}625-1{,}64:1{,}6=\frac{5}{8}-\frac{41}{40}=\frac{25}{40}-\frac{41}{40}=-\frac{2}{5}. \] Далее $4\frac{1}{6}=\frac{25}{6}$, значит $\frac{25}{6}\cdot\left(-\frac{2}{5}\right)=-\frac{5}{3}$. И $2\frac{5}{18}=\frac{41}{18}$, поэтому \[ \frac{41}{18}-\frac{5}{3}=\frac{41}{18}-\frac{30}{18}=\frac{11}{18}. \]
    Ответ. $\frac{11}{18}$.
  4. Задача. Упростите выражение $\left(-3a^{6}B^{2}c^{4}\right)^{7}\cdot\left(-\frac{1}{3}a^{4}B^{2}c^{3}\right)^{5}$.
    Решение. Раскроем степени: $\left(-3a^{6}B^{2}c^{4}\right)^{7}=(-3)^{7}a^{42}B^{14}c^{28}=-2187a^{42}B^{14}c^{28}$. Также $\left(-\frac{1}{3}a^{4}B^{2}c^{3}\right)^{5}=\left(-\frac{1}{3}\right)^{5}a^{20}B^{10}c^{15}=-\frac{1}{243}a^{20}B^{10}c^{15}$. При умножении коэффициенты дают $(-2187)\cdot\left(-\frac{1}{243}\right)=9$, а показатели степеней складываются, поэтому получаем $9a^{62}B^{24}c^{43}$.
    Ответ. $9a^{62}B^{24}c^{43}$.
  5. Задача. Упростите выражение $4(2x-1)^{2}-(3x-4)(3x+5)$.
    Решение. Раскроем скобки: $(2x-1)^2=4x^2-4x+1$, тогда $4(2x-1)^2=16x^2-16x+4$. Далее $(3x-4)(3x+5)=9x^2+3x-20$. Вычтем: \[ 16x^2-16x+4-(9x^2+3x-20)=7x^2-19x+24. \]
    Ответ. $7x^2-19x+24$.
  6. Задача. Найдите значение выражения $4a\left(3a^{2}-aB^{2}-B^{3}\right)-6a\left(2a^{2}+aB^{2}-\frac{2}{3}B^{3}\right)$ при $a=-\frac{12}{17}$, $B=\frac{5}{12}$.
    Решение. Упростим выражение: \[ 4a(3a^2-aB^2-B^3)=12a^3-4a^2B^2-4aB^3, \] \[ -6a\left(2a^2+aB^2-\frac{2}{3}B^3\right)=-12a^3-6a^2B^2+4aB^3. \] Складывая, получаем $-10a^2B^2$. Подставим значения: $a^2=\frac{144}{289}$, $B^2=\frac{25}{144}$, тогда $a^2B^2=\frac{25}{289}$, и значение выражения равно $-10\cdot\frac{25}{289}=-\frac{250}{289}$.
    Ответ. $-\frac{250}{289}$.
  7. Задача. Решите уравнение $\frac{2x-1}{15}-\frac{2+x}{5}+\frac{3x-2}{2}=1-x$.
    Решение. Приведём левую часть к общему знаменателю $30$: \[ \frac{2x-1}{15}=\frac{4x-2}{30},\qquad -\frac{2+x}{5}=-\frac{12+6x}{30},\qquad \frac{3x-2}{2}=\frac{45x-30}{30}. \] Тогда левая часть равна $\frac{43x-44}{30}$. Правая часть $1-x=\frac{30-30x}{30}$. Получаем $43x-44=30-30x$, значит $73x=74$ и $x=\frac{74}{73}$.
    Ответ. $x=\frac{74}{73}$.
  8. Задача. Вычислите $\frac{2{,}45^{2}+4{,}9\cdot 3{,}55+3{,}55^{2}}{4{,}23^{2}-4{,}23\cdot 2{,}46+1{,}23^{2}}$.
    Решение. В числителе распознаём формулу $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ при $a=2{,}45$, $b=3{,}55$, так как $2ab=2\cdot 2{,}45\cdot 3{,}55=4{,}9\cdot 3{,}55$. Поэтому числитель равен $(2{,}45+3{,}55)^2=6^2=36$. В знаменателе $2{,}46=2\cdot 1{,}23$, значит это формула $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ при $a=4{,}23$, $b=1{,}23$, поэтому знаменатель равен $(4{,}23-1{,}23)^2=3^2=9$. Тогда значение дроби $\frac{36}{9}=4$.
    Ответ. $4$.
  9. Задача. Смешав некоторое количество $20\%$-ного и $70\%$-ного растворов соляной кислоты, получили $25$ л $60\%$-ного раствора. Сколько литров $20\%$-ного раствора было взято?
    Решение. Пусть $x$ л составляет $20\%$-ный раствор, тогда $25-x$ л составляет $70\%$-ный раствор. Количество кислоты в смеси: \[ 0{,}2x+0{,}7(25-x)=0{,}6\cdot 25. \] Получаем $0{,}2x+17{,}5-0{,}7x=15$, то есть $-0{,}5x=-2{,}5$, откуда $x=5$.
    Ответ. $5$ л.
  10. Задача. Разложите на множители: (a) $3c^{2}x-30cx+300x$, (b) $2x^{3}-3x^{2}-50x+75$, (c) $70x+25-36y^{2}+49x^{2}$.
    Решение. (a) Вынесем общий множитель $3x$: $3c^{2}x-30cx+300x=3x(c^{2}-10c+100)$. (b) Сгруппируем: $2x^{3}-3x^{2}-50x+75=x^{2}(2x-3)-25(2x-3)=(2x-3)(x^{2}-25)=(2x-3)(x-5)(x+5)$. (c) Переставим слагаемые: $49x^{2}+70x+25-36y^{2}=(7x+5)^{2}-(6y)^{2}=(7x+5-6y)(7x+5+6y)$.
    Ответ. (a) $3x(c^{2}-10c+100)$; (b) $(2x-3)(x-5)(x+5)$; (c) $(7x+5-6y)(7x+5+6y)$.
  11. Задача. Пассажирский поезд должен пройти со скоростью $50$ км/ч расстояние между станциями. Пройдя половину пути, он был задержан на $12$ мин, а затем ехал со скоростью на $10$ км/ч больше, чтобы приехать вовремя. Найдите расстояние между станциями.
    Решение. Пусть расстояние равно $S$ км. По плану время пути $\frac{S}{50}$ ч. Фактически первую половину $S/2$ поезд ехал со скоростью $50$ км/ч, то есть $\frac{S}{100}$ ч, затем стоял $12$ мин, то есть $\frac{12}{60}=\frac{1}{5}$ ч, и вторую половину ехал со скоростью $60$ км/ч, то есть $\frac{S}{120}$ ч. Тогда \[ \frac{S}{100}+\frac{1}{5}+\frac{S}{120}=\frac{S}{50}. \] Умножим на $600$: $6S+120+5S=12S$, откуда $S=120$.
    Ответ. $120$ км.
  12. Задача. Из равенства $y-(1-x)=-2(x-2)$ выразите $y$ и укажите график полученной функции. (a) Найдите ординату точки графика при абсциссе $42$. (b) Напишите уравнение линейной функции, параллельной прямой $y=-\frac{1}{21}x+7$ и проходящей через точку из пункта б.
    Решение. Преобразуем: $y-(1-x)=y-1+x$, а $-2(x-2)=-2x+4$. Тогда $y-1+x=-2x+4$, откуда $y=-3x+5$. График функции $y=-3x+5$ является прямой. При $x=42$ получаем $y=-3\cdot 42+5=-121$. В пункте (b) требуется прямая, параллельная $y=-\frac{1}{21}x+7$, значит она имеет вид $y=-\frac{1}{21}x+b$, но по условию не задана точка, через которую она должна проходить.
    Ответ. $y=-3x+5$; (a) $-121$; (b) Ошибка в условии, нет решения.
Материалы школы Юайти