Школа №1535 из 7 в 8 класс 2020 год 2 этап

ЛИЦЕЙ №1535

2020 год

II этап. 150 минут.

1. (4 балла). Найти значение выражения $\frac{0,46^{3}-0,26^{3}}{0,2}-3 \cdot 0,26 \cdot 0,46$ наиболее рациональным способом.
2. (7 баллов). а) Графиком линейной функции является прямая $l$, проходящая через точку $\mathrm{M}(-60 ;-175)$ и параллельная прямой $y=3 x+1535$. Найти формулу этой линейной функции и построить её график; б) Найти все значения $\boldsymbol{q}$, при которых сразу три прямые $-\boldsymbol{l}$ и прямые, заданные уравнениями $y=(3-q) x+2 q-1$ и $y=8 x-4$ - пересекаются в одной точке; в) Найти все значения $\boldsymbol{p}$, при которых прямая, заданная уравнением $y=|p| \cdot x+\frac{1}{12}$, пересекает ось абсцисс в той же точке, что и прямая $\boldsymbol{l} .$
3. (5 баллов). Натуральное число X при делении на 13 даёт остаток 7. Какой остаток при делении на 13 будет давать число $X^{2}-2 X ?$
4. (5 баллов). Прямоугольный кусок волшебной кожи («шагреневая кожа») исполняет любые желания своего владельца, но после каждого исполнения желания она уменьшается на половину своей длины и на одну треть ширины. После исполнения 5 желаний он имел площадь $12 \mathrm{~cm}^{2}$, а после исполнения двух желаний его ширина была 9см. Какой была его длина после исполнения первого желания?
5. (5 баллов). Решить уравнение $(x-2)^{2}(x-3)=(x+1)^{2}(x-12)$.
6. (5 баллов). Биссектрисы углов А и В остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке О, $\angle A O B=115^{\circ}$. Высоты треугольника $\mathrm{ABC}$, проведённые из вершин В и С, пересекаются в точке Н, $\angle B H C=110^{\circ}$. Чему равны градусные меры углов треугольника $\mathrm{ABC}$ ?
7. (5 баллов). Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 8 км, одновременно отправились два лыжника. Скорость одного из них на 4 км/ч меньше скорости второго. Лыжник, который первым прибыл в В, тут же повернул обратно и встретил другого лыжника через 45 мин после отправления из А. На каком расстоянии от пункта А произошла их встреча?
8. (по 3 балла за каждый пункт). Разложить на множители
   1. $75 m^{2}-30 m n+3 n^{2}-2 n+10 m$
   2. $x^{2}+x-6$
   3. $(a+b) \cdot(a-b)^{3}-(a-b) \cdot(a+b)^{3}$
9. (5 баллов). Доказать, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна его основанию.

Решения задач

1. Найти значение выражения $\frac{0,46^{3}-0,26^{3}}{0,2}-3 \cdot 0,26 \cdot 0,46$ наиболее рациональным способом.
   Решение: Воспользуемся формулой разности кубов:
   $\frac{(0,46 - 0,26)(0,46^2 + 0,46 \cdot 0,26 + 0,26^2)}{0,2} - 3 \cdot 0,26 \cdot 0,46 =$
   $= (0,46^2 + 0,46 \cdot 0,26 + 0,26^2) - 3 \cdot 0,26 \cdot 0,46 =$
   $= 0,46^2 - 2 \cdot 0,46 \cdot 0,26 + 0,26^2 = (0,46 - 0,26)^2 = 0,2^2 = 0,04$
   Ответ: 0,04.
2. 1. Графиком линейной функции является прямая $l$, проходящая через точку $\mathrm{M}(-60 ;-175)$ и параллельная прямой $y=3 x+1535$. Найти формулу этой линейной функции.
      Решение: У параллельных прямых одинаковые угловые коэффициенты. Уравнение прямой $l$: $y = 3x + b$. Подставляя координаты точки M:
      $-175 = 3 \cdot (-60) + b \Rightarrow b = 5$
      Ответ: $y = 3x + 5$.
   2. Найти все значения $q$, при которых три прямые пересекаются в одной точке.
      Решение: Найдем точку пересечения $l$ и $y=8x-4$:
      $3x + 5 = 8x - 4 \Rightarrow x = \frac{9}{5}, \ y = \frac{52}{5}$
      Подставим в уравнение $y=(3-q)x + 2q - 1$:
      $\frac{52}{5} = (3 - q) \cdot \frac{9}{5} + 2q - 1 \Rightarrow q = 30$
      Ответ: 30.
   3. Найти все значения $p$, при которых прямая пересекает ось абсцисс в той же точке, что и прямая $l$.
      Решение: Точка пересечения $l$ с осью Ox: $3x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{3}$
      Для прямой $y=|p|x + \frac{1}{12}$:
      $0 = |p| \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) + \frac{1}{12} \Rightarrow |p| = \frac{1}{20}$
      Ответ: $p = \pm \frac{1}{20}$.
3. Натуральное число X при делении на 13 даёт остаток 7. Какой остаток при делении на 13 будет давать число $X^{2}-2 X ?$
   Решение: Пусть $X = 13k + 7$, тогда:
   $X^2 - 2X = (13k + 7)^2 - 2(13k + 7) = 169k^2 + 156k + 35 \equiv 35 \mod 13 \equiv 9 \mod 13$
   Ответ: 9.
4. Прямоугольный кусок волшебной кожи после исполнения 5 желаний имеет площадь $12 \mathrm{~cm}^{2}$, после двух желаний ширина 9 см. Найти длину после первого желания.
   Решение: После двух желаний ширина $9 = W_0 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \Rightarrow W_0 = 20,25$ см. После пяти желаний:
   $12 = L_5 \cdot W_5 = L_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 \cdot 20,25 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5 \Rightarrow L_0 = 144$ см
   Длина после первого желания: $144 \cdot \frac{1}{2} = 72$ см
   Ответ: 72 см.
5. Решить уравнение $(x-2)^{2}(x-3)=(x+1)^{2}(x-12)$.
   Решение: Раскроем обе части:
   $(x^3 - 7x^2 + 16x - 12) = (x^3 - 10x^2 - 23x - 12) \Rightarrow 3x^2 + 39x = 0 \Rightarrow x(x + 13) = 0$
   Ответ: $0; -13$.
6. Найти градусные меры углов треугольника $\mathrm{ABC}$.
   Решение: Из $\angle BHC = 110^\circ$ следует $\angle A = 70^\circ$. Из $\angle AOB = 115^\circ$:
   $\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = 65^\circ \Rightarrow \angle B = 60^\circ, \angle C = 50^\circ$
   Ответ: $70^\circ; 60^\circ; 50^\circ$.
7. Найти расстояние от пункта А до места встречи лыжников.
   Решение: Пусть скорость второго лыжника $v$, тогда первого $v + 4$. Время встречи:
   $\frac{8}{v + 4} + \frac{8 - \frac{8v}{v + 4}}{2v + 4} = 0,75 \Rightarrow v = \frac{26}{3}$ км/ч
   Расстояние: $\frac{26}{3} \cdot 0,75 = 6,5$ км
   Ответ: 6,5 км.
8. Разложить на множители:
   1. $75 m^{2}-30 m n+3 n^{2}-2 n+10 m = (5m - n)(15m - 3n + 2)$
   2. $x^{2}+x-6 = (x - 2)(x + 3)$
   3. $(a+b) \cdot(a-b)^{3}-(a-b) \cdot(a+b)^{3} = -4ab(a - b)(a + b)$
9. Доказать, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.
   Доказательство: Пусть $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB = AC$). Биссектриса внешнего угла при вершине $A$ делит угол $180^\circ - \angle A$ пополам. Угол между биссектрисой и основанием равен $\frac{180^\circ - \angle A}{2}$, что совпадает с углом при основании $\angle B = \angle C = \frac{180^\circ - \angle A}{2}$. Следовательно, биссектриса параллельна основанию.