Школа №1535 из 7 в 8 класс 2015 год

ЛИЦЕЙ №1535

2015 год

Вариант 1.1

1. Степени. Вычислите значение выражения: $\frac{3^{7} \cdot 15^{5} \cdot 4^{9}}{8^{4} \cdot 9^{4} \cdot 30^{4}}$.
2. Делители. Найдите наименьшее число, которое делится на 120,180 и $48 .$
3. Плотность. Плотность вещества 1000 кг/м $^{3}$. Сколько это г/см $^{3}$ ?
4. Пропорции. Бригада из 5 садовников за 3 часа посадила 30 деревьев. Сколько деревьев посадят 4 садовника за 4 часа?
5. Уравнение 1. Решите уравнение: $\frac{x+1}{3}-\frac{x+2}{2}=1$.
6. Уравнение 2. Решите уравнение: $(1-3 x)(x+1)=(3 x-1)(2 x+1)$.
7. Разложение 1. Разложите на множители: $a b-2 b c-4 c d+2 d a .$
8. Разложение 2. Разложите на множители: $x^{2}+y^{2}-1-2 x y$.
9. Замена. Известно, что $\frac{a}{b}=\frac{2}{3} ; \frac{b}{c}=\frac{5}{7}$. Найдите $\frac{a}{c}$.
10. Ось. На числовой оси найдите середину отрезка $[-122 ; 198]$.
11. Отношение. Верёвку длиной 30 см поделили в отношении $5: 7$ (длины частей относятся как 5 к 7 ). Найдите длину меньшей части.
12. Система. Найдите точные координаты точки пересечения графиков у $=1,5 \mathrm{x}-2$ и $\mathrm{y}=1-0,5 \mathrm{x}$.
13. Периметр. Квадрат со стороной 5 разрезали на 2 прямоугольника. Периметр одного из них $16 .$ Найдите периметр второго.
14. Краска. На окраску квадратного пола со стороной 3 м пошло 1,2 кг краски. Сколько краски пойдет на окраску квадратного пола со стороной 6 м?
15. Среднее. Вовочка получил единицу. Сколько пятерок подряд надо ему получить, чтобы его средний бал стал равен 4,5 ?
16. Скорость. Стог сена корова съедает за 6 дней, а коза - за 12 дней. За сколько дней они съедят стог сена вместе?
17. Сплав. Сплав массой 600 г содержит $10 \%$ меди. Сколько меди нужно добавить к этому количеству сплава, чтобы в новом сплаве содержалось $20 \%$ меди?
18. Угол. ВМ - медиана в треугольнике ABC, MD - биссектриса угла AMB, ME - биссектриса угла ВМС. Найдите угол DME.

Решения задач

1. Вычислите значение выражения: $\frac{3^{7} \cdot 15^{5} \cdot 4^{9}}{8^{4} \cdot 9^{4} \cdot 30^{4}}$.
   Решение: Разложим числа на простые множители:
   $3^7 \cdot (3 \cdot 5)^5 \cdot (2^2)^9 = 3^{7+5} \cdot 5^5 \cdot 2^{18}$,
   $(2^3)^4 \cdot (3^2)^4 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 5)^4 = 2^{12+4} \cdot 3^{8+4} \cdot 5^4$.
   Сокращаем множители:
   $\frac{3^{12} \cdot 5^5 \cdot 2^{18}}{2^{16} \cdot 3^{12} \cdot 5^4} = 2^{2} \cdot 5 = 20$.
   Ответ: 20.
2. Найдите наименьшее число, которое делится на 120, 180 и 48.
   Решение: НОК чисел:
   $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$, $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $48 = 2^4 \cdot 3$.
   НОК $= 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 16 \cdot 9 \cdot 5 = 720$.
   Ответ: 720.
3. Плотность вещества 1000 кг/м³. Сколько это г/см³?
   Решение:
   $1000\ \text{кг/м³} = 1000 \cdot 1000\ \text{г} / 10^6\ \text{см³} = 1\ \text{г/см³}$.
   Ответ: 1.
4. Бригада из 5 садовников за 3 часа посадила 30 деревьев. Сколько деревьев посадят 4 садовника за 4 часа?
   Решение: Производительность одного садовника:
   $\frac{30}{5 \cdot 3} = 2$ дерева/час.
   $4 \cdot 4 \cdot 2 = 32$ дерева.
   Ответ: 32.
5. Решите уравнение: $\frac{x+1}{3}-\frac{x+2}{2}=1$.
   Решение: Умножим на 6:
   $2(x+1) - 3(x+2) = 6 \Rightarrow -x -4 = 6 \Rightarrow x = -10$.
   Ответ: -10.
6. Решите уравнение: $(1-3x)(x+1)=(3x-1)(2x+1)$.
   Решение: Перепишем правую часть как $-(1-3x)(2x+1)$:
   $(1-3x)(x+1 + 2x+1) = 0 \Rightarrow (1-3x)(3x+2) = 0$.
   Корни: $x = \frac{1}{3}$, $x = -\frac{2}{3}$.
   Ответ: $\frac{1}{3}$ и $-\frac{2}{3}$.
7. Разложите на множители: $ab - 2bc - 4cd + 2da$.
   Решение: Группировка:
   $(ab + 2da) - (2bc + 4cd) = a(b+2d) - 2c(b+2d) = (a-2c)(b+2d)$.
   Ответ: $(a-2c)(b+2d)$.
8. Разложите на множители: $x^{2}+y^{2}-1-2xy$.
   Решение:
   $(x-y)^2 -1 = (x-y-1)(x-y+1)$.
   Ответ: $(x-y-1)(x-y+1)$.
9. Найдите $\frac{a}{c}$, если $\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$ и $\frac{b}{c}=\frac{5}{7}$.
   Решение:
   $\frac{a}{c} = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{10}{21}$.
   Ответ: $\frac{10}{21}$.
10. На числовой оси найдите середину отрезка $[-122 ; 198]$.
    Решение:
    $\frac{-122 + 198}{2} = \frac{76}{2} = 38$.
    Ответ: 38.
11. Верёвку длиной 30 см поделили в отношении 5:7. Найдите длину меньшей части.
    Решение:
    Меньшая часть: $\frac{5}{12} \cdot 30 = 12,5$ см.
    Ответ: 12,5.
12. Найдите координаты точки пересечения графиков $y=1,5x-2$ и $y=1-0,5x$.
    Решение:
    $1,5x - 2 = 1 - 0,5x \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1,5$.
    $y = 1,5 \cdot 1,5 - 2 = 0,25$.
    Ответ: $(1,5;\ 0,25)$.
13. Квадрат со стороной 5 разрезали на 2 прямоугольника. Периметр одного из них 16. Найдите периметр второго.
    Решение: Стороны первого прямоугольника: 5 и 3 (периметр $2(5+3)=16$).
    Второй прямоугольник: 5 и 2. Периметр: $2(5+2)=14$.
    Ответ: 14.
14. На окраску квадратного пола со стороной 3 м пошло 1,2 кг краски. Сколько краски пойдет на пол со стороной 6 м?
    Решение: Площадь увеличится в 4 раза. Краски потребуется $1,2 \cdot 4 = 4,8$ кг.
    Ответ: 4,8.
15. Вовочка получил единицу. Сколько пятерок подряд надо получить, чтобы средний балл стал 4,5?
    Решение:
    $\frac{1 + 5n}{n+1} = 4,5 \Rightarrow 1 + 5n = 4,5n + 4,5 \Rightarrow 0,5n = 3,5 \Rightarrow n = 7$.
    Ответ: 7.
16. Стог сена корова съедает за 6 дней, коза — за 12 дней. За сколько дней они съедят стог вместе?
    Решение:
    Совместная скорость: $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$ стога/день.
    Время: $4$ дня.
    Ответ: 4.
17. Сплав массой 600 г содержит 10% меди. Сколько меди добавить, чтобы содержание меди стало 20\%?
    Решение: Меди в сплаве: $60$ г. Пусть добавили $x$ г:
    $\frac{60 + x}{600 + x} = 0,2 \Rightarrow 60 + x = 120 + 0,2x \Rightarrow 0,8x = 60 \Rightarrow x = 75$.
    Ответ: 75.
18. В треугольнике ABC BM — медиана, MD и ME — биссектрисы углов AMB и BMC. Найдите угол DME.
    Решение: Углы AMD и CME — половины смежных углов, сумма которых 180°. Сумма половин: $90°$.
    Ответ: 90°.